從一道數列的典型錯題談起

有這樣一道題：已知數列{a}為遞增數列，且a=n+λn（n∈N），則實數λ的取值范圍為?搖?搖 ?搖?搖。

【典型錯解】研究函數f（x）=x+λx（x≥1）的對稱軸x=-，要使數列{a}為遞增數列，則只需-≤1，即λ≥-2.

【錯因分析】a=n+λn（n∈N）的圖像并非是拋物線，而是一群孤立的點。

【正解】事實上，f（x）=x+λx對稱軸x=-在x=1和x=2之間時，a=n+λn（n∈N）也有可能單調遞增，此時只需要-＜，即λ＞-3.

【另解】a-a=（n+1）+λ（n+1）-n-λn=2n+1+λ （*）

因為數列{a}為遞增數列，故（*）＞0對n∈N恒成立，即λ+3＞0，所以λ＞-3.

在數列這一章中，通過研究數列的單調性來解決數列的最值問題是常用的方法之一。

例1：已知數列{a}的通項a=（n+1）（）（n∈N），試問該數列{a}有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數；若沒有，說明理由。

解：a-a=（n+2）（）-（n+1）（）=（）（-）

則當n＜9時a＞a，n=9時a=a，即a=a，n＞9時a＜a，故{a}中存在最大項，即a或a.

例2：在數列{a}中，a=1，a=（1-）a（n∈N），

（Ⅰ）求數列{a}的通項公式；

（Ⅱ）若對于一切n＞1的自然數，不等式a+a+…+a＞log（a-1）+恒成立，試求實數a的取值范圍。

解：易知數列{a}的通項公式為a=。a+a+…+a=++…+

令F（n）=++…+，則F（n+1）=++…+++

F（n+1）-F（n）=+-=-=＞0

∴{F（n）}單調遞增，當n＞1時，F（n）=F（2）=+=。只需F（n）＞log（a-1）+，

故1＜a＜.

例3：設由正項組成的等差數列{a}，S是其前n項的和，并且a=5，aS=28，（1）求數列{a}的通項公式；（2）求使不等式（1+）（1+）…（1+）≥a對一切n∈N均成立的最大實數a。

解：（1）易得a=2n-1。設F（n）=，則F（n+1）=·===＞1，∴要使{F（n）}單調遞增，只需F（n）==≥a.