非完整圓周運動問題的計算

帶電粒子做完整圓周運動時往往比較簡單，但粒子如進入一有界磁場，其運動軌跡將是一段圓弧，這樣的問題比較復雜，難度較大，同時也是高考的考查重點，處理方法一般有以下幾種。

1.圓心的確定

方法1：若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，則可根據洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點處洛倫茲力F的方向，其交點即為圓心。

方法2：若已知粒子軌跡上的兩點和其中一點的速度方向，則可作出此兩點的連線（即過這兩點的圓弧的弦）的中垂線，再畫出已知點v的垂線，中垂線與垂線的交點即為圓心

方法3：若已知粒子軌跡上的兩點和能求得的半徑R，則可作出此兩點連線的中垂線，從連線的端點到中垂線上的距離為R的點即為圓心。

方法4：若已知粒子入射方向和出射方向，以及軌跡半徑R，但不知粒子的運動軌跡，則可作出此兩速度方向夾角的平分線，在角平分線上與兩速度方向直線的距離為R的點即為圓心。

方法5：若已知粒子圓周運動軌跡上的兩條弦，則兩條弦的中垂線的交點即為圓心。

2.半徑的確定和計算

半徑的計算一般可利用幾何知識，通過解三角形的辦法求解，并注意以下幾何特點：

（1）粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角θ）的2倍，即φ=α=2θ。如圖1所示：

（2）相對的余切角θ 相等，與相鄰的弦切角θ′互補，θ+θ′=180°。

3.運動時間的確定

利用圓心角與弦切角的關系，或者利用四邊形的內角和等于360°計算出圓心角的大小。若α用角表示，則t=θ/360°·T。若α用弧度表示，則t=T·α/2π，可求出粒子在磁場中的運動時間

例1：如圖2所示，在y<0的區域內存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感強度為B，一帶正電的粒子以速度V從O點射入磁場，入射方向在xy平面內，與x軸正方向的夾角為θ，若粒子射出磁場的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質量之比q/m。

圓心位于OA的中垂線上，由圖3所示幾何關系得L/2=Rsinθ ②

例2：圖4中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外是MN上的一點，從O點可以向磁場區域發射電量為＋q、質量為m、速率為θ的粒子，粒于射入磁場時的速度可在紙面內各個方向已知先后射人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到0的距離為L，不計重力及粒子間的相互作用。

（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道徑。

（2）求這兩個粒子從O點射人磁場的時間間隔。

（2）如圖5所示，以OP為弦可畫兩個半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道。圓心和直徑分別為O因Rcos（θ/2）=1/2L

得θ=2arccos（L/2R） ③

由①、①、③三式得：

△t=4marccos（lqB/2mv）/qB