平均數(shù)實(shí)際應(yīng)用研究

摘要:平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)，在很多情況下易受極端值的影響，從而使平均數(shù)被抬高或降低，導(dǎo)致其代表性的削弱。為了克服它的弊端和不足，應(yīng)引入中位數(shù)和眾數(shù)來補(bǔ)充和加強(qiáng)它的代表性和權(quán)威性。

關(guān)鍵詞:平均數(shù);存在的問題;選擇應(yīng)用

中圖分類號:- 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號:1673-291X(2010)11-0202-02

說到平均數(shù)大家都不陌生，它包括算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等，而算術(shù)平均數(shù)是使用最廣泛的指標(biāo)，通常所說的平均數(shù)就是指算術(shù)平均數(shù)。它既可以用來比較兩個(gè)總體水平的高低，也可以用來判斷一個(gè)總體單位的地位。比如，兩個(gè)班的《經(jīng)濟(jì)學(xué)》平均分?jǐn)?shù)分別是84分和85分，據(jù)此就可以認(rèn)為后者的成績優(yōu)于前者;同樣，一個(gè)學(xué)生的考試成績?nèi)绻哂谌嗥骄謹(jǐn)?shù)的話，也可以認(rèn)為這個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績不錯(cuò)。民間有“不怕不識(shí)貨，就怕貨比貨”的說法，喜歡比較是我們的愛好，也是市場競爭使然。人們熟悉平均數(shù)，更是用它來作為比較、判斷的常用標(biāo)準(zhǔn)，所以，在這里就平均數(shù)的學(xué)問進(jìn)行分析和探究。

一、平均數(shù)的含義

1.平均數(shù)的概念

平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的總和除以總頻數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)、均值，用表示。

設(shè)變量X1，X2，X3，… Xn表示對隨機(jī)變量X進(jìn)行觀察所獲得的n個(gè)觀察值，n為觀察值個(gè)數(shù)(樣本容量)，則算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式[1]如下:=

可概括為:= (i從1 ～ n) 。

2.平均數(shù)的計(jì)算方法

(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的方法

當(dāng)一組原始數(shù)據(jù)數(shù)目不多時(shí)，可以把原始數(shù)據(jù)直接代入上面的公式進(jìn)行計(jì)算。

(2)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算的方法

當(dāng)一組數(shù)據(jù)數(shù)目較多時(shí)，可以把這些數(shù)據(jù)先分組編制成頻數(shù)分布表，然后利用頻數(shù)分布表來計(jì)算平均數(shù)的近似值。計(jì)算方法是:把各組組中值乘以各組頻數(shù)，求其總和，再除以總頻數(shù)，即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的近似值。計(jì)算公式[2]如下:

==

在這里，X1，X2，X3，… Xk表示第1組到第k組的組中值;f1，f2，…，fk表示第1組到第k組的頻數(shù);Σf=n 。

二、平均數(shù)應(yīng)用中存在的主要問題

平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng);計(jì)算平均數(shù)時(shí)要用到每個(gè)數(shù)據(jù)，所以它對數(shù)據(jù)的變化比較敏感，通過它能夠獲得更多的信息，可以說它是一組數(shù)據(jù)的重心。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中被廣泛運(yùn)用，但若應(yīng)用不當(dāng)可能會(huì)達(dá)不到預(yù)期目的。

1.平均數(shù)的抽象抹殺了現(xiàn)實(shí)的差異性

平均數(shù)是一個(gè)抽象的概念，在平均的過程中它抹殺了大千世界的千差萬別。如2008年5月份，國家統(tǒng)計(jì)局、人力資源和社會(huì)保障部聯(lián)合發(fā)布的中國《2007年勞動(dòng)和社會(huì)保障事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》，其中披露2007年全年全國城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資為24 932元，比上年增長18.7%，扣除物價(jià)因素，實(shí)際增長13.6%[3]。對此在社會(huì)上引起了強(qiáng)烈的反映:媒體有報(bào)道、網(wǎng)上有討論，許多人都認(rèn)為有關(guān)部門在粉飾太平，質(zhì)疑數(shù)據(jù)的真實(shí)性。其實(shí)，這個(gè)數(shù)據(jù)無疑是真實(shí)的，它是依法統(tǒng)計(jì)和依法發(fā)布的，具有很強(qiáng)的權(quán)威性，社會(huì)公眾之所以不接受的原因出在“平均”上。在面對收入水平差異懸殊的情況下，只給一個(gè)平均數(shù)，其差異就在這樣的平均過程中被抹殺掉了，很可能一個(gè)高收入者會(huì)填補(bǔ)幾個(gè)、幾十個(gè)、甚至幾百個(gè)低收入者工資水平的缺口。現(xiàn)在的國有企業(yè)高管人員的工資動(dòng)輒幾十萬、幾百萬、甚至幾千萬，他們一人工資的變動(dòng)就會(huì)影響到很多的普通老百姓。

2.只說平均數(shù)所能提供的信息可能很有限

平均是一個(gè)模糊的概念，它可能會(huì)掩蓋少數(shù)極端值對結(jié)果的影響。在個(gè)別的數(shù)據(jù)過大或過小的情況下，“平均數(shù)”代表數(shù)據(jù)整體水平是有局限性的，也就是說個(gè)別極端數(shù)據(jù)是會(huì)對平均數(shù)產(chǎn)生較大的影響。如有一家高考補(bǔ)習(xí)班，學(xué)員只有5人。開班一個(gè)月后，其中一位學(xué)員的模擬高考考分，從原來的360分上升到460分;而另外4位原來考分在450分左右的學(xué)員成績幾乎沒有什么提高，有的成績甚至還略有下降。結(jié)果該高考補(bǔ)習(xí)班開始大打廣告，說“全體學(xué)員平均每人一個(gè)月提高20分”。廣告說的完全是實(shí)話，但它卻掩蓋了大部分學(xué)員的考分提高不多的事實(shí)。

又如，有一個(gè)考生在數(shù)學(xué)考試中考了55分，回家稟告父母時(shí)說“這次數(shù)學(xué)考試全班平均才47分，而我考了55分，比全班平均分高出8分”，這樣既避免了被父母責(zé)怪，又做了一回“誠實(shí)”的孩子。在這里完全回避了“全班及格人數(shù)超過一半、最高分的同學(xué)考了99分，以及有幾位考鴨蛋的同學(xué)”的事實(shí)真相。

3.特殊情況下的平均數(shù)可能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論

平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)。如果一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)方向相反、幅度相同，其結(jié)果可能是被認(rèn)為該組數(shù)據(jù)沒有發(fā)生變動(dòng)。

例如:質(zhì)量檢驗(yàn)部門檢驗(yàn)?zāi)硰S生產(chǎn)的手表質(zhì)量時(shí)，檢查人員隨機(jī)抽取了10只手表，在下表中記下了每只手表的走時(shí)誤差(注:正數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快，負(fù)數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢)，若用這10只手表誤差的平均數(shù)來衡量這10只手表的精度，得出的結(jié)論可能是錯(cuò)誤的。

解:[(-2)+0+2+1+(-3)+(-1)+0+2+4+(-3)]÷10=0÷10=0

從這個(gè)平均數(shù)看，仿佛這10只手表走時(shí)非常精確，沒有誤差，但實(shí)際上有8只手表存在著誤差，使用平均數(shù)掩蓋了該批手表存在誤差的事實(shí)。

在統(tǒng)計(jì)上要用一個(gè)數(shù)值代表總體的一般水平，通常只能用平均的方法，而平均又必然會(huì)掩蓋差異。從理論上解決這個(gè)問題并不復(fù)雜，可以沿用統(tǒng)計(jì)的方法，在計(jì)算均值的同時(shí)計(jì)算方差，用前者反映一般水平，用后者反映差異程度，但這樣的計(jì)算是應(yīng)該出現(xiàn)在論文或分析報(bào)告中的做法，而不適合面對社會(huì)公眾使用。為此，有人提出采用中位數(shù)、眾數(shù)替代均值來反映平均水平。

三、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的選擇

在個(gè)體水平大致平衡或差異不太大時(shí)，平均數(shù)往往最能說明問題;若在個(gè)體水平差異很大時(shí)，用中位數(shù)或眾數(shù)更能說明問題。因?yàn)樵趥€(gè)別的數(shù)據(jù)過大或過小的情況下，平均數(shù)代表數(shù)據(jù)整體水平是有局限性的，也就是說個(gè)別極端數(shù)據(jù)會(huì)對平均數(shù)產(chǎn)生較大的影響，而對中位數(shù)和眾數(shù)的影響則不那么明顯。所以，這時(shí)用中位數(shù)或眾數(shù)來代表整體數(shù)據(jù)更合適。即:如果在一組相差較大的數(shù)據(jù)中，用中位數(shù)或眾數(shù)作為表示這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量往往更有意義。

1.用平均數(shù)評比先進(jìn)集體或先進(jìn)個(gè)人

為了鼓勵(lì)學(xué)生在校勤奮學(xué)習(xí)，形成班級與班級之間比學(xué)趕幫超的氣氛，許多學(xué)校都在期末考試后開展優(yōu)秀班級評比和優(yōu)秀學(xué)生獎(jiǎng)學(xué)金評定活動(dòng)。通常都是計(jì)算出各班級所有考試科目的平均分?jǐn)?shù)，將平均分靠前的班級評為“優(yōu)秀班級”、 平均分靠前的學(xué)生評為“一、二、三等獎(jiǎng)學(xué)金”獲得者。以平均成績作為優(yōu)秀班級評比和獎(jiǎng)學(xué)金評定標(biāo)準(zhǔn)得到了很多學(xué)校和學(xué)生的贊同和肯定，因?yàn)榭偲骄煽儽葐慰瞥煽兏苋娴姆从骋粋€(gè)班級、一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)成績的優(yōu)劣，也能更好的體現(xiàn)一個(gè)班級的整體水平和一個(gè)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

2.用平均數(shù)給運(yùn)動(dòng)員評分

在很多體育比賽中，如體操、跳水、花樣滑冰等項(xiàng)目，通常都是把多個(gè)裁判員打的分?jǐn)?shù)進(jìn)行平均，用平均分?jǐn)?shù)作為獲獎(jiǎng)名次的依據(jù)。當(dāng)然，有些時(shí)候還在“掐頭去尾”之后才進(jìn)行平均，這種方法也叫做“裁減平均數(shù)” [4]。裁減掉兩頭，也就是通常所說的扣除一個(gè)最高分、扣除一個(gè)最低分，再用剩下的數(shù)進(jìn)行平均，可以排除少數(shù)極端值的影響，保障評分的公正。

3.用中位數(shù)更能說明收入水平

在物價(jià)漲幅攀升的時(shí)候，對職工的收入水平，只提供一個(gè)“平均數(shù)”會(huì)掩蓋很多的問題，不久前網(wǎng)友創(chuàng)作了這樣的打油詩:“張村有個(gè)張千萬，隔壁九個(gè)窮光蛋，平均起來算一算，人人都是張百萬。”對于這樣的問題，不是“平均數(shù)”的錯(cuò)，也不是統(tǒng)計(jì)學(xué)的錯(cuò)，統(tǒng)計(jì)學(xué)中就有現(xiàn)成解決的辦法，就是計(jì)算“中位數(shù)”。以一個(gè)101人的企業(yè)為例，把所有人員年收入從大到小排列，正中間的一位，即第51位的年收入就是這家企業(yè)年收入的中位數(shù)。打油詩里的“張村”個(gè)人財(cái)產(chǎn)中位數(shù)是“零”。這個(gè)時(shí)候平均數(shù)不能說明的問題，中位數(shù)就說清楚了。在現(xiàn)實(shí)生活中，像身高、體重之類的數(shù)據(jù)，基本滿足的是正態(tài)分布，也就是說差不多一半的人是“平均數(shù)”以上，一半的人在“平均數(shù)”以下，“平均數(shù)”基本上就等于“中位數(shù)”。但是對于收入之類的情況，由于有一部分人特別富有，是億萬富翁，是千萬富翁，是金領(lǐng)，是高級白領(lǐng)，他們的收入比普通人多得多。導(dǎo)致了收入如果從平均數(shù)上看的話，肯定有一半以上的人會(huì)在“平均數(shù)”以下。在這里，中位數(shù)往往更能說明問題的本質(zhì)。

4.用眾數(shù)來選擇方案

在現(xiàn)實(shí)生活中，往往會(huì)出現(xiàn)由多數(shù)人從眾多答案中選擇一個(gè)的情形，一般都利用“舉手表決”的方式來解決問題。即在統(tǒng)計(jì)出所有提議及相應(yīng)票數(shù)的情況下，看各票數(shù)的眾數(shù)是否超過總票數(shù)的一半，如果眾數(shù)超過了總票數(shù)的一半，選擇的最終答案就是這個(gè)眾數(shù)。但由于眾數(shù)不是唯一的，如果出現(xiàn)了雙眾數(shù)(兩個(gè)眾數(shù))，可對這兩個(gè)眾數(shù)采用抓鬮、抽簽或投擲硬幣等辦法選出最終的答案。

又如，為籌備班級的聯(lián)誼會(huì)，班長想通過對全班同學(xué)愛吃哪幾種水果作民意調(diào)查來最終決定買什么水果，那就只能由調(diào)查數(shù)據(jù)中的眾數(shù)來決定了，因?yàn)楦鞣N水果喜好人數(shù)的中位數(shù)或平均數(shù)都沒有什么意義。

平均數(shù)在日常的工作、學(xué)習(xí)和生活中被廣泛應(yīng)用，甚至習(xí)以為常。但我們平常并沒能仔細(xì)研究它究竟給我們提供了怎樣的信息，一經(jīng)認(rèn)真評味，便會(huì)覺得它大有學(xué)問。

參考文獻(xiàn):

[1][2] 陶靖軒，劉春雨，等.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:中國計(jì)量出版社，2007.

[3] 2007年勞動(dòng)和社會(huì)保障事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)[DB/OL].中國社會(huì)保障網(wǎng)http//www.cnss.cn/xwzx/jdxw/200805/t20080521.

[4] 鄭惟厚.平均也有大學(xué)問[J].中國統(tǒng)計(jì)，2008，(1).