例談數學思想在解題中的應用

[摘要]初中數學解題主要運用了分類討論思想、方程思想、轉化思想、數形結合思想、整體思想。數學中滲透著基本數學思想，如何能使它落實到學生學習和應用數學的思維活動上，借以充分發展學生的數學能力，筆者通過一些實例做了一些有益的探索。

[關鍵詞]數學思想；應用

在數學解題過程中，所運用的數學方法與技能，往往包含著一定的數學思想。靈活運用數學思想與方法，可以使問題化難為易，變繁為簡。《數學課程標準》里特別把理解與掌握一定的數學思想與方法。理解、掌握基本的數學知識及技能提到并重的位置。那么初中數學教學中常用到哪些數學思想方法呢?現舉例說明：

一、用分類討論思想巧妙解題

當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種相應的結論，這種處理問題的思想方法稱為分類思想。

例1 已知關于x的函數y=ax²+x+1(a為常數)，若函數的圖像與x軸恰好有一個交點，求a的值。

析解：本題的條件是不唯一的，該函數是什么函數，問題中沒有說明，有幾種可能情況呢?兩種：一次函數或二次函數，所以要分為兩類。

(1)當此函數為一次函數時，a=0，求得與x軸交點為(-1，0)；

(2)當此函數為二次函數時，a≠O，△=1-4a，

△=0，即a=0，25時，有一個交點(-2，0)，

綜合以上分類。得出a=0，或a=0，25。

評注：在做題時，應注意審題，考慮全面，以免產生漏解的情況。

二、用方程思想靈活解題

在進行數學計算時，往往通過已知量和未知量的聯系，建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知量的數值，從而使問題得以解決，這種通過列方程使已知量和未知量產生聯系的數學思想。通常稱為方程思想。

例2 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元?

析解：設每件襯衫應降價x元，根據題意，得(40-x)(20+2x)=1200，解得xI=10，x2=20。因要盡快減少庫存，故x取20。

答：每件襯衫應降價20元。

評注：在審題時不僅要找到隱含的相等關系，列出方程，還要抓住“盡快減少庫存”這樣的要求，才能對所得的方程的解進行合理的取舍。

三、用轉化思想探究解題

將所要研究和解決的問題，變為已經學過的問題來處理，這種數學思想，稱為轉化思想，它是一種研究和解決數學問題的基本思想

例3如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=7，BC=12。求∠B的度數。

析解：過A點作AE∥DC，交BC于E，因為AD∥BC，所以四邊形AECD為平行四邊形，所以AD=EC，AE=CD，因為AB=CD=7，AD=5，BC=12，所以BE=BC-CE=12-5=7，AE=CD=AB=7，所以△ABE為等邊三角形，所以∠B=60°。

評注：在梯形有關問題中，若已知中有關于腰的條件，一般是平移一腰，把梯形問題轉化為三角形和平行四邊形問題，使分散的條件得以集中，為解決問題創造條件。

四、用數形結合思想形象直觀的解題

把刻劃數量關系的數和具體直觀的圖形有機結合，將抽象思維與形象思維有機結合，根據研討問題的需要，把數量關系的比較轉化為圖形性質或其位置關系的討論，或把圖形間的待定關系轉化為相關元素的數量計算，即數與形的靈活轉換、相互作用，進而探求問題的解答就是數形結合的思想方法。

例4：實數在數軸上的位置如圖所示

化簡：|a+b|+(b-a)²=________

析解：由兩實數a、b在數軸上的位置可知

a＜0，b＞0，且＞|a|＞|b|

所以a+b＜0，b-a＞0

所以|a+b|+(b-a)²=-(a+b)+(b-a)=-2a

評注：這里如果沒有兩實數a、b在數軸上的點的位置這個“形”

就無法確定a、b的大小關系，更無法確定a+b和b-a的正負。

五、用整體思想來概括解題

整體思想就是把考慮的對象作為一個整體看待，進而解決問題的數學思想，應用整體思想解題，往往會起到事半功倍的作用。

例5 如圖，四邊形ABCD是各邊長都大于是2的四邊形，分別以它的頂點為圓心，1為半徑，在四邊形的外側畫弧(弧的端點分別在四邊形的相鄰兩邊上)則這4條弧長的和是________。

析解：若這4條弧分別求，那是求不出來的，但由于4條弧所對的圓心角是4×360°-(∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠C-DA)=4×360°-360°=3×360°

所以這4條弧長的和恰好等于3個半徑為1的圓的周長6π。

所以答案為6π。

評注：因為這4條弧分別對的圓心角是未知的，若這4條弧分別求，那是求不出來的，這里只有把四段弧看作一個整體來考慮，才能找到解題的途徑。

除了上面提到的思想方法之外。還有統計思想、函數思想、從特殊到一般的方法等。數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思a想方法。初中《數學課程標準》把數學的精髓——數學思想方法納入了基礎知識的范疇，這是加強數學素質教育的一項創舉。數學思想方法既是數學的基礎知識，又是將知識轉化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此在教學中我們要注重數學思想方法的滲透、概括和總結，要重視數學思想方法在解題中的應用。