求數(shù)列通項公式的常用方法

數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的求解方法倍受高考命題者的青睞，歷年來都是高考命題的熱點，求數(shù)列的通項公式更是高考重點考查的內(nèi)容，解決的方法有等差數(shù)列公式;等比數(shù)列公式，另外有些數(shù)列可以根據(jù)公式法:若已知數(shù)列的前 項和與的關系，求數(shù)列 的通項可用公式

求解。

但也有一些數(shù)列要通過一定的方法對之進行轉化才能得到，以下是筆者總結的五種較實用求數(shù)列通項公式方法。

一、利用累加法求通項公式

例1:已知數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個通項。

解:易知

各式相加得

評注:一般地，對于型如 類的通項公式，只要等號的右邊能進行求和，則宜采用此方法求解;如果不能則該法慎用。

二、利用累乘法

對形如 的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，…n-1得到n-1個式子累乘求得通項。

例2:已知數(shù)列中，，前n項和Sn與 an的關系是 ，求通項公式an。

解:由得

兩式相減得:，

將上面n-1個等式相乘得:

點評:累乘法是反復利用遞推關系得到n-1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求{f(n)}的前n-1項的積，要注意求積的技巧。

三、利用待定系數(shù)法求通項公式

求遞推式如(p、q為常數(shù))的數(shù)列通項，可用待定系數(shù)法轉化為我們熟知的數(shù)列求解，相當于換元法。

例3:已知數(shù)列 滿足

解:設

展開后，得

由

條件可化為

得數(shù)列是以為首項，為公差的等比數(shù)列，

問題轉化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得:

點評:遞推式為(p、q為常數(shù))時，可以設其待定常數(shù)s、t由求出，從而化歸為上述已知題型。

四、利用對數(shù)變換法或倒數(shù)法求通項公式

例4:已知正數(shù)數(shù)列{an｝滿足a1=10，且an+1=10a(n∈N*)，求數(shù)列{an｝的通項公式。

解:由an+1=10a兩邊取對數(shù)lgan+1=2lgan+1則lgan+1+1=2(lgan+1)

所以數(shù)列{lgan+1｝是首項為lga1+1=2，公比為2的等比數(shù)列。

所以lgan+1=2n，即lgan=2n-1所以an=102n-1。

例5:已知數(shù)列{an｝中，a1=2，n≥2時

，求通項公式。

解:，兩邊取倒數(shù)得

可化為等差數(shù)列關系式:

評注:本題借助 為等差數(shù)列得到了 的通項公式，是典型的化歸法。常用的化歸還有取對數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題，是高考中的常見方法。注意觀察和分析題目條件的結構特點，對所給的遞推關系式進行變形，使與所求數(shù)列相關的數(shù)列是等差或等比數(shù)列后，只需解方程就能求出通項公了。

五、利用不動點法求通項公式

例6:已知數(shù)列滿足

求數(shù)列的通項公式。

解:令 得

則是函數(shù)的不動點。

所以數(shù)列是以 為首項，以 為公差的等差數(shù)列，則故

評注:本題解題的關鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程 的根，進而可推出 從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列 的通項公式。

綜上所見，無論是什么樣的數(shù)列，只有通過轉化成我們所熟知的等比或等差數(shù)列才能求其通項，除此別無他法!

(作者單位:安徽省望江縣賽口中學)