幾何知識在測量地球周長中的應用

人類起初認為“天圓地方”，即大地是平坦無垠的，向東西南北各個方向無限伸展；而天空則像罩在地上的一只巨大無比的碗，其上有日月星辰不斷運行。后來。人們發現：在地上一直向北走，天空中南方的星座會漸漸下降，北方的星座卻漸漸上升；在大海上向遠望，先看到的是來船的桅頂，然后才看到全船：發生月食時，月亮上的陰影是圓弧形的……人們終于恍然大悟：只有大地是球形的，上述觀察現象才能得以解釋。

當人們對大地的形狀定性之后，就開始進行定量的思考：地球究竟有多大?通常，球體的大小用其直徑來表示。但是，由于地球中心不可到達，它的直徑也就無法直接測量，于是人們就得另辟蹊徑設計可行的測量方法。通過球心的平面會在球面上留下圓形交線，它叫做球的大圓。測量大圓的周長是人們早期想出的測量地球大小的方法。然而，沿大圓走一周就是環球旅行。這在當時是無法實現的。于是，就有人想到利用圓的幾何特性測量大圓的周長。人們知道。圓是一個“處處均勻”的圖形，如果能測量出一段圓弧的長度。又知道這段圓弧與圓周長之比。則圓周長即可算出。這正是最早測量地球大小的基本想法。

公元前三百多年，在埃及的尼羅河人海口建成了著名的亞歷山大城。這座城市擁有當時世界上最大的圖書館。吸引了許多學者。公元前3世紀后期。一位杰出的科學家埃拉脫斯特尼(Eratosthenes，約公元前270—公元前190)擔任亞歷山大圖書館館長。他巧妙地設計了測量地球大小的方案。

眾所周知。整個圓周對應以圓心為頂點的周角。如果能測出一段圓弧所對的圓心角的大小。從圓心角與周角之比，就能知道這段圓弧與圓周長之比。但是，地球的中心無法到達，又怎樣測量圓弧所對的圓心角呢?

在亞歷山大城的正南方有一個叫亞斯文的地方。在每年夏至那天的正午，太陽剛好在亞斯文的正上方。這時，如果在地面上直立一根桿子，桿子在陽光下不會形成陰影(實際上這時的陰影是桿子底部那個點)。

某個夏至的正午。埃拉脫斯特尼在亞歷山大城測量了垂直于地面的桿子在陽光下的陰影。并根據桿子和陰影的長度得出陽光和桿子之間的夾角的大小。由于太陽遠離地球。陽光是平行照射到地球的。在亞斯文和亞歷山大。陽光方向上并無差別，埃拉脫斯特尼就得到了這兩地的垂直地面的方向的夾角(請注意。由于地面是球面，所以這兩地垂直地面的方向不平行，它們分別是球心與兩地的連線向上伸展的方向)。容易得出，這個夾角就是，在過球心和這兩地的大圓上，以這兩地為端點的圓弧所對的圓心角。其推理過程用到了“兩直線平行，同位角相等”。埃拉脫斯特尼測量的結果是：這個圓心角是周角的1/50。由此他推出地球大圓的周長是這兩地間距離的50倍。按照他測量的兩地距離計算，折合為現代的長度單位，地球大圓的周長約合40 232.5km。我們現在知道，地球是近似球體，中間的赤道圓的半徑略長。根據國際大地測量與地球物趣聯合會1980年公布的數據，赤道周長40 075v7km，子午線周長40 008.08km。雖然埃拉脫斯特尼測量的結果與實際存在一定誤差，但這并不重要，畢竟他給出了接近于實際的測量數據。重要的是，他所運用的測量方法基本上是合理的，幾何知識在其中發揮了關鍵性作用。這樣的測量在公元前二百多年進行，真是非常了不起的創舉。據歷史記載，此后約一千年，中亞地區的花剌子模(位于今烏茲別克斯坦)有一位叫做花拉子米(al-Khwarizmi，約780—850)的數學家，也測量了地球大圓的周長，而且所用方法與埃拉脫斯特尼的方法大致相同，只是花拉子米所選的測量地在巴格達附近，不是正好處在太陽正下方。他根據兩個觀測點的地平線與陽光的夾角之差，算出兩地間所夾圓心角的大小。花拉子米事先并不知道前人已經進行過此類測量，所以也是自創測量方法。真可謂時隔千年，但“英雄所見略同”啊!