動力系統中吸引域的估計方法與研究意義

摘要針對動力系統中吸引域的研究問題，我們主要闡述了吸引域的估計及其研究的若干方法，包括其基本原理、基本思想與適用性等。同時，我們介紹了吸引域的估計在現實與理論中研究的意義。

中圖分類號:O19文獻標識碼:A

0 前言

對于一個具體的映射系統來說，我們要徹底地了解與掌握該系統的內在結構與規律，通常要通過研究它的動力學行為來揭示它的整個演化過程及其最終演化的結果，因此研究它的吸引域就是一個不可或缺的問題。

實際上，我們知道對于一個映射系統，即使映射系統很簡單，它的吸引子為簡單的不動點時，吸引域邊界也可能很復雜，甚至可能出現分形結構。我們知道吸引域的估計就是要確定劃分不同吸引子的邊界。然而我們清楚映射系統的吸引子本身的結構也具有多樣性(可能是多個吸引子或者是奇異吸引子)，這樣一來就使得吸引域的研究成為了一個十分復雜而極其重要的工作。基于此，我們綜述了幾種吸引域的估計方法，便于為以后的工作提供一定的幫助與引導。

1 吸引域的估計方法

第一種方法是流形估計方法。一般來說，吸引域的邊界包含在邊界上的某一不穩定集的穩定流形。對于一個映射系統T，我們就可以利用中心流形定理①用數值計算得到鞍不動點p(或者不穩定集)的穩定流形，那么可以得到吸引域的邊界，其中是T -1的T逆映射。

上述方法關鍵技術是求解穩定流形。對于二維空間中的微分同胚的穩定和不穩定流形，處理的通常方法是假設局部不穩定流形沿不穩定特征向量u方向且過不動點q的一短線段:Wu(q) = {q + twu : - ≤t≤}，對Wu(q)上的點進行迭代來求解全局不穩定流形。在位于這個局部不穩定流形上不動點的同一側均勻地取N個點，即1≤j≤N當時有xj = q+ ()wu，取若干次迭代，來得到變長了的不穩定流形，即對于固定的k > 0， {Tk(xj):1≤j≤N}。同理，我們向后迭代可得到其穩定流行，令j = q + ()ws，1≤j≤N，則對于固定的k > 0，{T-k(j):1≤j≤N}近似于其穩定流形。

對于流形估計方法它應用于映射系統較為方便，我們可以得到系統的全部吸引域，同時可以研究吸引域的全局分叉問題。但是在具體的許多實際動力系統中難以找到行之有效的數值方法求解到系統的穩定流形。

第二種方法是蒙特卡洛方法。該方法的具體實現過程主要由計算機進行數值模擬。在平面R2上隨機取一個研究區域[a，b][c，d]，固定一個步長k ，l，把所研究區域劃分為有限多個初始點m，而且一定要滿足 == m，其實m就是要掃描像素點的個數。接著用數值計算的方法把這m點個代入到映射T進行掃描，得到從這些點出發的軌線經過適當一段時間趨向于那一個吸引子(有限的或者無限的)，用不同的顏色記錄趨向于不同吸引子的初始條件，從而決定不同吸引子的吸引域。

上述方法適用于任意高維系統，我們可以通過改變步長，進而改變像素點的個數來調整計算的誤差，特別是對于連續系統來說，我們還可以通過改變積分誤差與積分周期來調整其計算誤差。同時我們也可以通過調整研究區域[a，b][c，d]的大小，在我們需要一定精度的要求下進行較高較準的研究分析。但該方法在鎖定我們想要研究的區域時是需要進行不斷地調試。

第三種方法是李雅普諾夫函數方法。該方法主要是通過構造系統的適當的李雅普諾夫函數，若關于某一穩定不動點構造的李雅普諾夫函數在某些點為凸函數，而從這些點出發的軌線又收斂于這一穩定不動點，那么這一李雅普諾夫函數的凸邊界就是吸引域的邊界。

該方法可以適用于任何維的連續和離散動力系統。但是只有特殊類型的方程才有李雅普諾夫函數，而且李雅普諾夫函數的構造沒有一般的方法與無確定的規律可循，并且它也僅僅只能給出不動點吸引子的吸引域的一個子集(穩定鄰域)。

第四種方法是數軸反向跌代法。該方法僅僅適用于可行吸引域的估計。所謂可行吸引域是指，如果一個映射T對于任意非負的x和y有定義，即在R2+ = {(x，y) ∈R2|x≥0，y≥0}中有定義，并且在點(x0，y0)∈R2+產生的整個軌線{(xt，yt) - T(x0，y0)，t = 1，2，…}有界，那么這個點是一個可行點，這樣的軌線稱為可行軌線。產生可行軌線的的初始點的集合稱為可行吸引域D。對于一個具體的動力系統而言，一般它的可行吸引域D的邊界是X = {y = 0}和Y = {x = 0}所有的前像的并給出。該方法適用于大多數演化系統的可行吸引域的界定，可以幫助我們清楚地了解系統的最終演化結果。但該方法是建立在映射系統T存在逆映射以及它的逆可以得到有效的求解的情況下，才能保證吸引域的有效界定。

2 研究的意義

一方面從應用角度來說，吸引域的估計已經廣泛地應用于各個領域中。在混沌控制中，吸引域的估計可增加控制混沌的技術。②在電力系統網絡中，③如果對電壓的擾動如果超過一定范圍(即偏離穩定狀態超過的允許值)可能引起整個電網的大面積停電，甚至整個電網的崩潰。因此確定偏離穩定狀態的允許值即穩定不動點的吸引域大小尤為重要。在將神經網絡用于聯想記憶時，網絡中不動點的吸引域大小可以使我們了解神經網絡的糾錯能力。在生態種群系統中，④⑤通過確定初始的種群密度的范圍(即可行吸引域的大小)，來保證系統在給定參數的情況下不滅絕和不出現種群爆炸等現象，并給出了種群系統保持全局持久性的系統參數的范圍(即在參數給定情況下初始種群密度在什么范圍時種群系統是穩定的)。因此吸引域的估計具有很強的實用價值。

另一方面從理論研究的角度來說，我們要完整分析一個復雜系統不僅要分析它的吸引子的復雜性而且要分析它的吸引域的復雜性。通過研究吸引域的估計，我們可以發現系統更多新的動力學行為(分形與多孔結構)，⑥⑦因此對吸引域的研究，我們可以完善與豐富動力學的一些相關理論，同時為其廣泛的現實應用提供理論上的指導。

3 總結

本文給出了四種吸引域的估計方法，其中包括一類特殊的可行吸引域的界定方法。雖然在論理與應用中我們已經取得了許多研究成果，但是我們知道吸引域的估計方法本身就有它們的適用性、諸多限制與缺陷。所以我們在面對一個具體的動力系統對它進行研究時，就要根據其特點來選擇有效的研究方法。當然，在面對著更為復雜的動力系統時，我們在已有的方法行之無效的情況下，應該積極地去尋找與研究新的方法。

注釋

①劉秉正，彭建華.非線性動力學[M].北京:高等教育出版社，2004:47-53.

②Paskota， M. “On control of chaos: The neighborhood size” Int.J. of Bifurcation and chaos， 6， (1996):169-178.

③Budd C.J. and wison J.P. ”Bogdanov-Takens bifurcation points and Sil’nikovhomoclincity in a simple power-system modell of voltage collapse” IEEE Trans. circuits and systems， 49:5 (2002):575-589.

④Jackson， E.A. Grosu， I. “An open-plus-close-loop(OPCL) control of complex dynamic system，” Phys. D， 85， (1995):1-9.

⑤Maynard Smith， J: Mathematical Ideas in Biology. Cambridge: CambridgeUniversity Press (1968).

⑥Popovych O.，Maistrenko Yu.， Mosekide E.，Pikovsky A.， KurthsJ.”Transcritical riddling in a system of couled maps.”phya.Rev..E，63(2001)036201-15.

⑦Maistrenko Yu.L.，Maistrenko V.L.，Popovich A.，Mosekide E.”Role of the absorbing area in chaotic synchronization.”Phys.Rev.Lett.23(1998):1638-1641.