高階等差數列求和的方法

摘要本文主要介紹k階差分數列、高階等差數列及k 階差分多項式的定理、引理導出求高階等差數列前n項和的方法。

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

1 問題的提出

在中學數學中，我們知道k = 1+2+3+…+n = n (n+1)可利用等差數列前項和公式得出。而對于k2 = 12+22+32+…+n2 = n (n+1)(2n+1)，它不是等差數列，我們怎樣得出的呢?第一個推導出的人是古希臘數學家阿基米德，他是用恒等式(k+1)3 - k3 = 3k2+ 3k+1推導出來的。

那么，對任意自然數r，該如何求kr = 1r+2r+3r+…+nr 的和?這是有一般公式的，它最早由瑞士數學家雅谷。貝努利推出的，有了貝努利公式，求kr就成了一種步驟，但是否還有其他方法?回答是肯定的，下面來簡單介紹。

2 高階等差數列

定義1 如果△k{an}不是零數列，而△k+1{an}是零數列，則{an}稱是k階等差數列。特別地，非常數的等差數列稱為一階等差數列，高于一階的等差數列稱為高階等差數列。下面給出關于高階等差數列通項的兩個重要定理。

定理1數列{an}是k階等差數列的充要條件是其通項an可以用一個關于n的k次多項式來表示，即an = knk +k-1nk-1 + …1n + 0。

定理2若數列{an}是高階等差數列，則有

an = Crn-1a1(r) = C0n-1a1(0) + C1n-1a1(1) + … Cn-1n-1a1(n-1)

3 高階等差數列求和的方法

3.1 公式法(I)

例1求:k(k+1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 + …+n(n+1)。

解:在恒等式k(k+1) ≡ k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)中，分別令k = 1，2，3，…，n-1，得1·2 =- ;2·3 =- ;

……

(n-1)n =-

整理得:k(k+1) = 1.2+2.3+3.4+ … +n(n+1)(n+2)

類似例1的方法，利用恒等式k(k+1)…(k+r) ≡ k(k+1)…(k + r + 1) -(k-1)k…(k+r)

可得一般的結論:

k(k+1)(k+2)…(k+r) = n(n+1)…(n+r+1)(1)

由定理1知，r階等差數列的通項公式(第k項的)為

f (k) = rkr +r-1kr-1+…+ 1k + 0 (2)

若能將此式化為

f (k) = rk(k+1)…(k+r-1)+r-1k(k+1)…(k+r-2)+…+1k = 0 (3)

則r階等差數列前n項和

Sn = f (k) = rk(k+1)…(k+r-1)+…+1k + 0k0

便可由(1)式直接求出，但(2)式化成(3)式是否總是可能呢?為此，引入差分多項式。

定義2形如 Pk(x) =x(x-1)(x-2)…(x-k+1) k≥1的多項式稱為k階差分多項式，稱P0(x) =1為零階差分多項式。

定理3設an = f (n)，f (n)是關于n的k次多項式，則Sn = am是關于n的k+1次多項式。由引理1，2知:

Sn = f (m) = f (m) - f (0) = rPr+1(n+1) - f (0) (I)

顯然Sn是n的k+1次多項式。

由此，便可得出由公式(I)求高階等差數列前n項和的一般步驟:①求出k階等差數列的通項f (x);②令f (x) = rPr(x)，代入f (0)，f (1)，…，f (k)的值求出1，2，…，k;③把1，2，…，k的值代入公式(I)，即可求得Sn。這種求和方法的特點是計算方便。

3.2 公式法(II)

{an}的通項可由其各階差分數列的首項線性表示，那么，其前項n和Sn是否也能由{an}的各階差分數列的首項線性表示?

定理4 設{an}為k階等差數列，記其前n項和為Sk(n) =am，則Sk(n) = Cnr+1a1(r)(II)

注:當k≥n時，結論仍成立，特別地，當{an}為一階等差數列時，有a1(1) = d，a1(2) = a1(3) = … = 0，有S1(n) = Cnr+1a1(r) = Cn1a1(0) + Cn2a1(1)。

所以，S1(n) = na1 + n(n-1)d，這就是通常的等差數列的前項和公式。

3.3 待定系數法

定理5k階等差數列{an}的前n項和Sn是n的k+1次多項式。

例2:求和: (2k-1)2。

解:設Sn = 3n3 + 2n2 + 1n + 0

分別以n =1，2，3，4代入 (2k-1)2，得S1 = 1，S2 = 10，S3 = 35，S4 = 48

即

所以，Sn = n3 - n = n(2n-1)(2n+1)。

由例2可看出，對于階數不高的高階等差數列，如果事先能確定其階數，則應用待定系數法求其前n項和Sn較為簡便，直觀。

3.4 母函數法

定義4設{an}= {a0，a1，…，an，…}是一給定數列，則稱形式冪級數f (x) = a0 + a1x + … +anxn + …為數列{an}的母函數。

例如:數列1，2，3，…，n，…的母函數是f (x) = 1+ 2x + 3x2 +… +nxn-1+…。現設{an}為高階等差數列，f (x) 是{an}的母函數，即f (x)= a0 + a1x + … +anxn + …

由 = 1 + x + x2 + … + xn + …，得

= (a0 + a1x + … +anxn + …)(1 + x + x2 + … + xn + …)

= a0 + (a0 + a1) x + (a0 + a1 +a2 ) x2 + … + (a0 + a1 +a2 … +) xn + …

= Snxn

即{Sn}的母函數為，由此可得到下面定理:

定理6 設f (x)是階等差數列{an}的母函數，如果記{Sn} = am

(n = 0，1，2，…)，那么數列{Sn}的母函數為。

這樣一來就歸結為如何計算k階等差數列{an}的母函數f (x)了，由定理1，若{an}是一k階等差數列，則，

an = C1k+1an-1+C2k+1an-2 - …+(-1)k-1an-k-1 = 0

所以，特征多項式為

1- C1k+1x + C2k+1x2 - … +(-1)k-1xk+1 = (1-x)k+1

從而得{an}的母函數為f (x)=

這里0，1，2，…，k由{an}的k+1個初始值和特征多項式的系數通過下列各式確定:

(4)

于是{Sn}的母函數fs (x)為

fs (x) == (5)

由此，可得到用母函數求高階等差數列{ a n }的前n項和的一般步驟:①確定{ a n }的階數，由階數確定f(x);②通過(4)式求r (r =1，2，3，…，k);③把r的值代入(5)式進行計算即可求出Sn。

用母函數方法求自然數方冪的和在方次不太高時還是可以的，當方次高時，就顯得比較麻煩。

以上對高階等差數列求和的五種方法進行了粗略的介紹，它們各有優、缺點也各有妙處，但殊途同歸，可根據實際情況選擇使用。

參考文獻

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[2]楊迅文.數列求和方法拾綴.福建:福建人民出版社，1983.

[3]林六十，趙繼源.初等代數研究.武漢:中國地質大學出版社，1998.