淺談閉區間上連續函數的性質

摘要本文簡介了閉區間[a，b]上連續函數的整體性質以及證明，表述為有界函數定理，最值定理，介值定理和一致連續性定理。

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

在討論閉區間[a，b]上的連續函數的整體性質中，我們對最值定理，中間值定理和一致連續性定理作了簡述，首先討論最值定理、中間值定理。

由一致連續性定理知，上述兩個定理的證明方法有多種。

先闡述確界定理。假設f在[a，b]上連續，可證得函數在[a，b]上也連續。

證明:由連續函數在閉區間上必有上、下確界的性質，M(x)在[a，b]上處處有定義，因上確界隨取值區間擴大而增大，則M(x)遞增，故每點的單側極限存在。

x0∈[a，b]，需證下列等式成立。即

M(x0 - 0) = M(x0) = M(x0 + 0)(1)

∵M(x)單調遞增，則M(x1 - 0) ≤M(x0 - 0) ，又因x∈[a，x0]，

(1)左邊等式成立。現證(1)式右邊等式成立。

由反證法，∵M(x)單調遞增，M(x0)≤M(x0 + 0)。假若M(x0 + 0)≥M(x0)，則可取充分小的0>0，使得M(x0 + 0)>M(x0) + 0。于是，對于x>x0，

由確界定義，t∈[a，x]，使得

f (x)>M(x0) + 0 ≥f (x0) + 0(2)

但在[a，x0]上，f (x)≤M(x0)。則(2)式中，t∈[x0，x]與f (x)的連續性矛盾，證畢。

我們知道，在閉區間上的連續函數都是有界的。我們由確界原理和致密性定理來證明最值定理。

證法1:設函數f在[a，b]上連續，記。 則，使得(M可能為+∞，以下證明中M為有限數)。

由致密性原理，{xn}的子列(可仍記作{xn})， 則。故由連續性得，即f在x0點取得了最大值。

同理，可證關于最小值的結論。

證法2:令M = sup{f (x)}，由定理:若函數f定義在[a，b]上，且連續，則它在該區間上有界，存在常數m與M，使得m≤f (x)≤M。

因為M為一有限值，若f (x)在[a，b]上達不到上確界，則必有f (x)0)。故≤NM - f (x)≥≤，即f (x)≤M - ，M是f (x)的上確界，推出矛盾。

所以，在區間[a，b]上可以找到x0，使得f (x0) = M。

上述證明過程中，我們沒有給出任何求最值的方法，我們借助微分學知識來實現的。求最值方法具有廣泛的實用價值，也就是我們常說的最優化討論的內容。

關于中值定理的討論:設函數f定義在[a，b]上，且連續。在區間兩端點處取異號數值，則必存在一點c，使得a

由連續函數定義，我們有。從幾何上可直觀，連續曲線從x軸的一側走到另一側必與x軸相交。

下面我們用兩分法來證明中間值定理。

證明:假設f (a)<0，f (b)>由分點把[a，b]分為兩半。

若f () = 0，則c = ;若f () ≠0，則函數必在區間[a，]或[，b]上取異號值，滿足在左邊小于0，在右邊大于0。

假設為[a1，b1]，則f (a1)<0，f (b1)>0繼續如法炮制，再用把[a1，b1]分成兩半。若f() = 0，則c = ，c點已找到;若f()≠0，c點仍未找到。繼續用[a2，b2]表示，使得f (a2)<0，f (b2)>0。經過有限次后，總可以找到這一分點，在這一點處函數值為0。若仍未完成，我們得到了一個區間套，由區間套定理，則存在c = R，且滿足lim an = lim bn = c，c∈[a，b]。

根據函數的連續性f (c) =f (an)≤0，f (c) =f (bn)≥0，所以必有f (c) = 0，證畢。

可見，函數的連續性是一個本質條件，若f不連續，則定理也不成立。

一致連續性定理的證明:

證法一:用確界定理證明。

因f (x)在a點右連續，可知>0，使f (x)在[a，a +]一致連續。這時，若b>a +，則問題解決;若b≥a +，則作集合A = {x|a

今證只有c = b，否則若c < b，那么f (x)在c點連續，必1>0使f (x)(c - 1，c + 1)在上一致連續，從而可推出f (x)在[a，c + 1]上一致連續，f (x)在[a，c + ]上一致連續，這與c的作法矛盾，故只有c = b，換言之，f (x)在[a，b]上一致連續。

證法二:用單調有界數列必收斂證明。

若f (x)在[a，b]上連續但不一致連續，將[a，b]等分為兩個區間，則f (x)至少在二者之一中不一致連續。記這樣的一份為[a1，b1]，今將[a1，b1]又二等分，同理又必有一份記為[a2，b2]，使f (x)在其上不一致連續，如此類推，可得區間套{[an，bn]}，f (x)在每個閉區間套[an，bn]內都不一致連續，因為{an}遞增且有上界b，由單調有界數列必收斂知，{an}必收斂，設 an = ，因

(bn - an) = 0，于是bn =(bn - an) +an = ，從而可知∈[an，bn]，由于f (x)在連續，即>0，1>0當|x - |<時有|f (x) - f ()|<，又當n充分大時，必有[an，bn]( - ， + )，從而x'，x''∈[an，bn]當|x' - |<時有|x' - x''|≤|x' - | + |x'' + |<，因而|f (x') - f(x'')|≤|f (x') - f ()| + |f (x'') - f ()|<2。

這表明f (x)在[an，bn]上一致連續，這與所作區間套的性質矛盾，所以f (x)在[a，b]上一致連續。

參考文獻

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