初等變換在分塊矩陣中的應用

摘要本文介紹了分塊矩陣的初等變換的概念，以及初等變換在分塊矩陣中的應用。

關鍵詞分塊矩陣 初等變換 應用

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

矩陣分塊的方法是矩陣理論中基本方法之一，分塊矩陣的初等變換則是處理分塊矩陣的有關問題的重要工具.本文著重闡述了初等變換在分塊矩陣問題中的應用。

1 預備知識

定義1 以下分塊矩陣的變換稱為廣義的初等變換:

(1) 交換兩行(列);

(2) 某行(列)左(右)乘一個可逆矩陣P;

(3) 用一個矩陣左(右)乘某行(列)后加到某一行(列)。

定義2 分塊單位矩陣(即把單位矩陣分塊得到的分塊矩陣)經過一次分塊矩陣的初等變換得到的矩陣稱為分塊初等矩陣。

定理1 一個分塊矩陣A作一次分塊矩陣的初等行(列)變換，就相當于在A的左(右)邊乘上一個相應的分塊初等矩陣。

2 應用

2.1 利用初等變換求分塊矩陣的逆。

例1 設A和B分別為m€譶和n€譵階矩陣，Em、En分別為m、n階單位矩陣，又Em-AB可逆，試證En-BA可逆，并用A、B及(Em-AB)-1表示(En-BA)-1。

證明:

故En-BA可逆當且僅當Em-AB可逆.

利用分塊矩陣初等變換求矩陣逆思路簡單，就是進行初等變換，很容易就得出結論。

2.2 在求矩陣秩中得應用

例2 設A為n階方陣，則A2=E 當且僅當 秩(A+E)+秩(A-E)=n

證明:必要性

因為秩(A+E)+秩(A-E)=n 故 A2-E=0 即 A2=E

再看用矩陣秩的性質的證明

證明:由A2=E可得(A+E)(A-E)=0

在證明當AB=0時，A、B為n階方陣，有秩(A)+秩(B)≤n

從而有秩(A+E)+秩(A-E)≤n

另一方面有

秩(A+E)+秩(A-E)≥秩[(A+E)-(A-E)]=秩(2E)=n

故有秩(A+E)+秩(A-E)=n。

比較兩種方法，顯然用分塊矩陣的初等變換的解法更容易被人接受，符合形象教學法。

2.3 在行列式計算中的應用

(1)一般應用。

例3 設A是m€譶 矩陣，B是n€譵 矩陣，證明:

|Em-AB|=|En-BA|

證明:構造分塊矩陣

若不用此方法解答，僅從行列式的一些性質出發很難找到突破口，而構造了分塊矩陣，只需要利用初等變換就簡單第得出了結論，這種方法可以使復雜的問題簡單化。

(2)公式法。

我們可以利用分塊矩陣的初等變換得到下面兩個公式:

公式1 設A為n階可逆矩陣， 和為兩個n維列向量，則:

公式2 設A為n階可逆矩陣，B1為n€?矩陣，B2為2€譶矩陣，則:

當行列式的階數比較高時，我們利用公式1、2將其降階，從而求得行列式的值，故稱上述兩公式為降階公式。

例4. 計 算

像例4、5本是n階矩陣，如果用廣義初等行列式來做不僅步驟繁多，而且一不小心就會出錯，不易得出結論，而用降階公式將其降階，在代入公式一步便可以求初結論。

3 結束語

通過上述的幾種方法總結，我們可以看出，用分塊矩陣的初等變換來做題，能使問題簡單化，解題思路清晰，把一些高階矩陣分成若干個低階矩陣，能使我們迅速接近問題的本質，從而達到解決問題的目的。

參考文獻

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