數學認知結構及其建構策略

摘要現代學習的認知理論認為，數學學習的過程實際上是學生的數學認知結構建立、擴大或重新組織的過程。數學教學的根本任務就是造就學生良好的數學認知結構。本文就數學認知結構的含義、特征以及如何建構良好的認知結構進行論述。

關鍵詞數學認知結構 建構 策略

中圖分類號:O119文獻標識碼:A

現代學習的認知理論認為，數學學習的過程實際上是學生的數學認知結構建立、擴大或重新組織的過程。數學教學的根本任務就是造就學生良好的數學認知結構，為后繼學習提供保障，最終提高學生的問題解決能力，使學生得到全面發展。本文就數學認知結構的含義、特點以及如何建構良好的認知結構進行論述。

1 數學認知結構的含義

關于認知結構的含義，國內外有不同的觀點。美國認知心理學家奧蘇伯爾認為，認知結構就是學生頭腦里的知識結構，即知識結構通過內化在學習者頭腦中形成的觀念的內容和組織。數學認知結構是人們在對數學對象、數學知識和數學經驗感知與理解的基礎上形成的一種心理結構。我國曹才翰教授等曾明確指出:“所謂數學認知結構，就是學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。”①可見數學認知結構是指學生在數學學習中對數學概念的網絡化聯系、數學命題之間的關系、數學技能以及數學命題的應用條件系統以及數學思想、方法與學生的原有認知結構相互作用形成的一種具有主觀能動性和開放性的、立體多層次的整體知識結構。

2 數學認知結構與數學知識結構

數學認知結構與數學知識結構有著密切聯系，而且二者的聯系已經引起了人們的廣泛注意。但是，學生頭腦中的認知結構與教材中所安排的知識結構是有差異的。

2.1 信息表征方式不同

教材中的數學知識主要以語言文字、符號、圖形等方式詳細表達，而頭腦中的信息主要是以語義的方式簡約表征的，多以直覺的方式儲存。正如布魯納所說，“詳細的資料是靠簡化的表達方式保存在記憶里的。”可見，認知結構已經將知識表征和個人智力活動方式融為一體，是二者的有機統一和結合。

2.2 信息的構造方式不同

教材中的數學知識前后是有一定的順序性和邏輯性，而學生頭腦中的知識的順序性淡化了，以其他的方式構造起來。如有人主張知識在頭腦中的構造應該是網絡結構。而且由于人們對數學知識的理解、感知、選擇和組織的差異，使得信息在頭腦中的構造方式也因人而異。例如，研究表明，專家傾向依據高級原則來組織他們的知識，而新手則依據表面特征以零散的孤立的方式儲存知識(Chase，Simon，1973年)。②所以對同樣的數學知識往往形成不同的認知結構和解決問題的方法。

2.3 知識的完備性不同

教材中的數學知識是完備的、沒有缺口的。而頭腦中的認知結構是通過人們加工過留在頭腦中的，是有缺口的。也就是說，即使是書上寫過的，老師講過的知識，頭腦中不一定能完整的領會和掌握，在運用時不一定能達到熟練程度，也不一定能順利的完成遷移。這就要求幫助學生形成完備的認知結構，以利于學生對知識的理解和運用。綜上可以看出，數學知識結構只有通過主體的的內化，發揮學生的主觀能動性才能轉變為學生的數學認知結構。在這個過程中既要注意二者的聯系，更要注意二者的區別。

3 良好的數學認知結構的特征

學生學習書本知識的目的不是機械地記住孤立的知識項目，而是有效的形成組織良好的認知結構。③良好的認知結構有哪些特征呢?根據奧蘇伯爾的觀點，良好的認知結構應有以下三個特征:(1)可利用性——當學生學習新的數學知識時，他原有的認知結構中具有可以同化新知識的固定點，也就是說他認知結構中應該有來同化新知識的較一般的、概括的、包容廣的觀念。認知結構中已有的有關知識的概括性越高，包容范圍越大，遷移的價值越大，越有助于學習新的知識。(2)可辨別性——當原有的認知結構同化新的數學知識時，新舊知識的異同點可以清晰地被辨別。兩者可分辨度越高，則越有助于實現正遷移、避免干擾，從而有助于學習新知識。(3)穩定性——認知結構中起固定作用的觀念是牢固穩定的。鞏固程度越高，越有助于新知識的學習。④這些主要是側重于概念原理方面。何小亞則從數學解題的角度提出了良好的認知結構應具有以下四個特征:(1)足夠多的觀念;(2)足夠穩定而又靈活的產生式;(3)層次分明的觀念網絡結構;(4)一定的問題解決的策略的觀念。⑤

4 建構良好認知結構的策略

良好的認知結構有利于學生知識的合理表征和貯存，有利于知識的遷移，促進學習者加深對數學的理解和靈活應用數學知識，有利于發展數學能力。我國古代就有“以其所知，喻其不知，使其知之”的說法。為此要按照良好認知結構的特征來培養學生具有良好的數學認知結構。下面將從教材、教師、學生三方面提出一些建構良好數學認知結構的策略。

4.1教師方面

4.1.1 深入了解學生原有的數學認知結構

古語云:“知己知彼，百戰不殆。”教學也不例外，教學中的一個重要的出發點是學生已經知道了什么，正如心理學家奧蘇伯爾所說:“影響學習的唯一最重要因素就是學習者已知了什么。并因此進行教學?！鄙钊肓私鈱W生原有的數學認知結構，是建構良好數學認知結構的基礎。教師只有明確學生原有認知結構中是否具有足夠多的學習新知識所需的相關概念后，才能切實把握教學的起點，進行針對性教學。如在“三角函數性質”的教學中，教師可先了解學生是否切實掌握了函數的有關性質，即函數定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性等相關知識。了解學生頭腦中原有的認知結構是否具有同化“三角函數性質”的相應的知識。經過了解，對于原有認知結構中缺少的有關概念加以補充，那些模糊的和遺忘的概念加以區別或增加其穩定性。這里可采用奧蘇伯爾所提倡的“先行組織者”的策略。一方面激活認知結構中已具備的觀念，另一方面增加新材料與認知結構中那些類似概念之間的可辨性。

4.1.2 根據知識分類采取適當方式進行教學

由于數學知識可以分為陳述性知識，程序性知識和過程性知識等三類。⑥根據不同類型的知識，教師以不同教學方式為學生提供數學知識結構，從而有利于學生將其內化為良好的數學認知結構。例如，在學習陳述性知識時就應該幫助學生形成命題網絡表征，它是“層次網絡結構”與“激活擴散結構”的復合。這樣可將分散于各單元中的知識溝通起來，引導學生把握知識的整體，領悟其中的規律和實質，更重要的是掌握知識的來龍去脈。對于程序性知識可幫助學生建立雙向產生式，即學生不僅僅知道一條“如果……那么……”規則，還應該知道在什么時候使用這條規則。之后再將這些產生式合理組織，可以在解決問題時快速提取。教師要根據數學知識的差別，學生的心理變化，靈活地處理優化教學內容的結構，促進良好認知結構的形成。

4.1.3 加強思想方法的教學

數學教學的目的是使學生能把習得的內容遷移到新情境中。數學的概念、原理是正確的思想、方法的載體，數學的思想方法是隱含在數學概念、原理之中。知識越具體，應用的范圍越狹窄，只能用于非常具體的情境，也容易遺忘;概括性越高，其應用范圍越廣，可應用于任何情境中的類似問題，也有利于保持。而數學思想方法是數學的一般性原理，它有高度的概括性，有助于學習的遷移。因此，要發展學生良好的數學認知結構，就必須加強數學思想方法的教學。教師在課堂教學中為學生安排恰當的教學情境，以暴露數學思維活動的真實過程，使學生切實體驗到數學思想、方法的意義和作用是非常重要的。教師應當努力把知識教學提高到思想、方法教學的層次水平上，要針對具體內容研究設置教學情境的方法，以展示數學知識的發生發展過程，反映數學知識之間在數學思想方法上的繼承性和發展性，為學生提供一個包含數學思想、方法的數學知識結構體系，以利于學生建立起完整的數學認知結構。

4.2 學生方面

教師為學生構建良好的認知結構只能提供外部條件，關鍵還是要靠學習者自身，學生是建立良好的認知結構的主體。

4.2.1 在總結中建構良好的認知結構

學生掌握的知識只有做到條件化、結構化、自動化、策略化，才有利于解決問題。尤其是對概念、命題的掌握，知識在頭腦中無條理地堆積的話，那么知識越多，越不利于問題的解決。正像烏申斯基所指出的那樣:“不可迷戀于沒有系統的各種事實，塞滿了零碎的、無聯系的知識的頭腦就像里面一切都擺得毫無秩序的一個倉庫，在這里連主人自己也什么東西都找不到?！边@就要求學生對學習的知識進行總結，將其組織、抽象、概括、歸類等。雖說前面提到了教師在建立知識結構時的作用，但是只有學生積極主動地建構才能起到真正的效果。例如，在學完平行四邊形的判定之后，學生要對這些知識進行總結，回憶講了一些什么定理，它們之間有什么聯系，有些什么方法。并且將它們的結構總結出來，最后與老師的總結對比，看看哪些地方不足，哪些地方可取，也可與同學交流共同提高。最好將知識用CPFS結構表征，⑦從不同角度考察知識，可以從章節角度總結，也可以從功能、作用方面重新構造知識。形成不同的概念域，最終形成概念系，并且搞清各結點的邏輯意義和聯系。將數學知識進行整合，形成一種數學特有的認知結構。這一切的獲得都要學生發揮主觀能動性，不斷地實踐才能達到。

4.2.2 在反思中建構良好的認知結構

數學學習是具體性較差與現實有一定距離的活動，自我意識的作用更加突出，更需要對數學學習加強自我反思。而現實中，學生往往以獲得正確答案為滿足，不對解題過程進行反思，不對解題經驗教訓進行反思，不對解題方法進行反思。這樣導致了學生數學學習效率低，學習技能弱，學習效果差。學生學習時，要善于剖析自己發現和解決問題的過程;學習中運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法;學習中走過了哪些彎路，犯過了哪些錯誤，原因何在。只有在學習的過程中不斷的反思，才能促進良好認知結構的培養。學生如果在得到結論后對思路進行反思，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么思維可在更高層次上進行概括，將數學理論上升到理性水平。在反思的過程中，學生的思維朝者著開放、靈活、精明、新穎的方向發展，在對問題的不斷深化中提高自己的概括能力。反思是對自身的思維過程、思維結果進行再認識和檢驗的過程，在反思的過程中整個認知結構得到重構和完善。

總之，建構起良好的數學認知結構是我們的目標，在這個過程中，需要師生的共同努力，希望以上的策略能對建立良好的數學認知結構有所幫助。

注釋

①曹才翰，蔡金法.數學教育學概論[M].南京:江蘇教育出版社，1989:52.

②張慶林.當代認知心理學在教學中的應用[M].重慶:西南師范大學出版社，1995:56.

③皮連生.教育心理學(第三版)[M].上海:上海教育出版社，2004:106.

④[美]奧蘇伯爾等.教育心理學[M].佘星南，宋鈞，譯.北京:人民教育出版社，1994:202-222.

⑤何小亞.建構良好的數學認知結構的教學策略[J]數學教育學報，2002.11(1):24-26.

⑥⑦喻平.數學教育心理學[M].南寧:廣西教育出版社，2004:65-74.