初中數學教學中的分類方法與分類思想

　　摘 要： 在初中數學教學的過程中逐步恰當地滲透數學思想方法，培養學生的思維能力，讓學生形成良好的數學思維習慣既是符合新課程的標準，又是進行數學素質教育的一個極好的切入點。它不但是一種重要的數學思想，而且是一種重要的數學邏輯方法。分類思想不僅在數學知識的探究和概念學習中十分重要，而且在解決數學問題過程中起著不可替代的作用。本文作者談了初中數學教學中幾種重要的分類方法，并講述了在法則、定理、公式導出過程中，學生應如何應用分類討論的思想。讓學生學會用這種思想方法解決問題，是培養學生思考周密性、條理性的前提條件，對提高學生的思維能力和解決問題的能力有很大作用。
　　關鍵詞： 初中數學教學 分類方法 分類思想
　　
　　一、初中數學教學中幾種重要的分類方法
　　所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性的分類討論思想，貫穿于整個初中數學的全部內容中。學習分類方法可以增強思維的縝密性。在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解到所謂的分類就是選取適當的標準，需要根據對象屬性x，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法是解決問題的關鍵所在。下面我就簡單談幾種分類方法。
　　（一）根據數學的相關法則性質或特殊規定進行分類。
　　例如，學習一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類討論大于0、等于0、小于0這三種情況對應方程的解。
　　分析：此題的符號決定能否開平方，是分類的依據，通過移項不等式可以化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據不等式的性質可分為a-2>0、a-2=0和a-2<0三種情況分別解不等式。
　　（二）根據數學的概念分類。
　　有些數學概念是經過分類得出的，解答此類題目，一般就可以按概念的分類形式進行分類。
　　例題：化簡：|a-4|—|a+6|
　　分析：這要按絕對值的意義進行分類求解。需要分三種情況：絕對值>0時，絕對值<0時和等于0時，分類討論，得出結果。
　　再如：當m為何值時，函數y=（m+3）x2m+l+4x-5（x≠0）是一次函數？
　　分析：這要根據一次函數的概念進行分類求解。
　　（三）根據圖形的特征或相互間關系進行分類。
　　1.三角形按角分類可以分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。
　　2.二次函數二次項系數正負關系到拋物線開口方向。
　　3.直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離，直線與圓相切，直線與圓相交，等等。
　　例題：等腰三角形一腰上的高與另一腰上的夾角為30°，底邊長為a，則腰上的高是多少？
　　分析：本題根據圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高，可得出兩種不同的答案：高=（四）根據幾何圖形中的點和線出現不同的位置進行分類。
　　例如在證明圓周角定理時，由于圓心的位置分為在角的邊上、角的內部、角的外部三種不同的情況。因此分析時三種不同情況就要分別進行討論證明。可以先證明圓心在圓周角的一條邊上，這是最容易解決的，然后通過作過圓周角頂點的直徑利用先證明的（圓心在圓周角的一條邊上）的情況來分別解決圓心在圓周角的內部和外部這兩種的情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況逐一解決的方法。初中數學教材中，在證明弦切角定理即弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角時，也要分圓心在弦切角的一條邊上、弦切角的內部和弦切角的外部三種不同情況來解決。
　　例題：⊙O的半徑為OA=l，弦ABBAC的度數是多少？分析：根據兩弦的位置的不同進行分類，最后就可以求得∠BAC=75°或l5°。
　　再如交于A、B兩點。兩圓半徑分別是25和17，AB=30，則圓心距是多少？
　　分析：根據兩圓的位置進行分類就可以求得圓心距為28或12。
　　二、在法則、定理、公式導出過程中的分類思想
　　有些數學性質、公式或定理在不同條件下是會有不同結論的，或者可以說結論只有在一定限制條件下才能成立。這就需要教師在教學的過程中逐步體現分類討論思想，分類討論在什么條件下成立，結論如何，等等。
　　比如：正比例函數的圖像，它的遞減或遞增性就要取決于k小于0還是大于0，這就需要分類來進行驗證。
　　再如：不等式的運算性質要按不等式的兩邊同時乘以或同除以同一個正數或負數的不同來決定不等號方向是否改變。
　　又如：初中課本證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。為什么要根據圓心相對于圓周角的位置分成三種情況去證明？這就需要學生在自主畫圖測量、分析討論才能回答的，否則就失去了從一般到特殊、從特殊到一般的思維過程，當然也就無法體會到分類證明的目的和優點。
　　學生在教師的引導下興趣盎然地進行探索活動，會逐步體會到恰當的分類可增加題設的條件，即可以把分類的依據做為附加條件，先證明特殊情況，再由特殊情況推廣到一般情況。這樣就拓寬了解決問題的思路，以化繁為簡。
　　其實分類討論的本質就是由特殊到一般、由復雜到簡單，分而治之。只要學生掌握住這種思想，解起比較難解的題時也會思路清晰，得心應手。如，學會了證明圓周角定理之后，在學習弦切角定理的證明時，學生們就可以自主運用再次認識“分類討論的思想”的探究過程。在數學教學中，教師應該重視法則、定理、公式的論證過程，注意歸納、揭示公式之間的聯系，幫助學生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。
　　三、結語
　　總之，分類的思想方法是在數學知識的發生和應用的過程中形成和發展的，它的靈活掌握需要有個潛移默化的過程，不能急于求成，是要在多次理解和反復應用的基礎上逐步形成的。因此，教師要在在日常教學中要在根植于課本的基礎上，著眼于提高；要善于挖掘出各種教學資源中所蘊含的分類的思想方法，不失時機地引導學生建立分類的思想，揭示分類思想的本質，進行滲透、概括、提煉與強化，使學生能夠自覺合理地運用分類的思想解決相應的數學問題。掌握分類的數學思想方法，可以提高學生的綜合運用的能力和良好的思維品質，也有利于學生數學思維的建立與發展。
　　
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