一類數列通項的求解

　　匈牙利數學家路莎·彼得說：“數學家們也往往不是對問題進行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直到把它轉化為能夠解決的問題。”解題的過程就是從題目的條件不斷向解題目標變形、靠近的過程。因此，利用目標導航，進行靈活轉化、化歸，是讓解題思路來得自然的重要途徑。
　　對于由遞推關系所確定的數列通項公式問題，通常可通過對遞推式的變形轉化，從而化歸成等差數列或等比數列，進而利用等差、等比數列以及累加、連乘的方法求出數列的通項。
　　遞推數列的通項求解大致有如下幾類：a=a+f（n）、a=af（n）、a=pa+f（n）、a=pa+qf（n）。事實上以上幾類都可以看成a=pa+qf（n）類來解決，而a=pa+qf（n）又可以轉化為a=a+f（n）解決。下面舉例說明。
　　類型1：數列{a}中a=1，a=a+（2n+1），求數列{a}的通項a。
　　分析：數列求通項的本質就是等差數列通項推到思想——累加法的應用，移項以后，采用累加法，就可以利用等差數列求和，得到數列的通項。
　　解：因為a=a+（2n+1），所以a-a=（2n+1），
　　從而a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a，所以a=n。
　　點評：本題可以看成a=a+f（n）型問題，當f（n）=c（c是常數）就是等差數列；當f（n）=cn+d（c、d是常數且c≠0）、f（n）=c（c是常數且c≠0）就可以用累加法利用等差數列、等比數列求和，問題得以解決。
　　類型2：數列{a}中a=1，a=2a+4，求數列{a}的通項a。
　　分析：本題可以采用兩種方法：法一：構造新數列a+k=2（a+k），展開與原來的表達式相同，求出k，從而化歸成等比數列的通項求解；法二：兩邊同除以2后就可以化歸為類型1的問題解決。
　　解：由題意可得a+k=2（a+k），展開并與原表達式比較得k=4，所以=2，令b=a+4，則b=5，從而數列{b}是以5為首項，2為公比的等比數列，即b=5·2，所以a=5·2-4。
　　點評：本題a=pa+f（n）型的一種情況，f（n）=4是常數，當f（n）=2，此時采用上述解法，就不如采用方法二來得快，解法如下：
　　a=2a+2，兩邊同除以2，得=+，令b=，則b-b=，b=，這樣就化歸為題類型1解決。如果f（n）=2n+1呢？此時仍可采用兩邊同除以2，得=+，則可化歸為令b=，則b-b=，b=。利用累加法，利用等比數列求和思想——錯位相減法，求出的和，問題就能順利得到解決。
　　總之，對遞推數列的求解，只要能轉化為b-b=f（n），然后利用累加法，就能求出數列{b}的通項，其他問題都能得以順利解決。