幾何探求代數(shù)解

　　立體幾何中的探索性問(wèn)題是高考中的常見(jiàn)題型。因其涉及的點(diǎn)、線具有可變性與不固定性，使此類(lèi)題型具有一定的探索性和創(chuàng)造性。用傳統(tǒng)的立體幾何法去探求難度較大，而用空間向量法可“化找為求”，變探索為固定求解，使幾何問(wèn)題代數(shù)化，大大降低了思維難度。
　　例1：如圖，正三棱柱各棱長(zhǎng)都相等，問(wèn)在棱AA上是否存在點(diǎn)E使二面角E-BC-A為60°。
　　解：取AC、AC中點(diǎn)分別為O和F，分別以O(shè)B、OC、OF所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖1，設(shè)正三棱柱的長(zhǎng)為2，則C（0，1，0）、B（，0，0）、C（0，-1，0），假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，可設(shè)E（0，-1，b）（0≤b≤2），
　　∴=（-，-1，b），=（-，1，0）
　　可取平面ABC的法向量為=（0，0，2），
　　設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z），
　　由·=0·=0得-x-y+b·z=0-x+y=0
　　∴y=xz=x
　　令x=
　　∴y=1，z=
　　∴=（，1，）
　　∴|cos<，>|==cos60°
　　點(diǎn)評(píng)：立體幾何中點(diǎn)的探求常假設(shè)其存在，設(shè)一參數(shù)，再根據(jù)題中條件解決參數(shù)問(wèn)題即可。用立體幾何法解決二面角問(wèn)題須先找到此二面角的平面角，而向量法則可化為計(jì)算兩向量夾角問(wèn)題。
　　例2：如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為∠DAB=60°的菱形。正三角形PAD所在平面垂直于底面ABCD。
　　（1）求證：AD⊥PB。
　　（2）取BC中點(diǎn)E，能否在棱PC上找一點(diǎn)F，使得平面DEF⊥平面ABCD。若能請(qǐng)證明，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由。
　　證明：（1）取AD中點(diǎn)O，則正三角形APD中，
　　PO⊥AD又面PAD⊥面ABCD?圯PO⊥面ABCD。
　　又菱形ABCD中，∠DAB=60°?圯正三角形ABD中OB⊥AD，分別以O(shè)B、OD、OP所在直線為x、y、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，
　　則||=||=
　　∴A（0，-1，0），D（0，1，0），B（，0，0）
　　∴=（0，2，0），=（-，0，）
　　∴·=0
　　∴AD⊥PB
　　（2）在菱形ABCD中=2·
　　∴=（0，1，0）
　　∴E（，1，0），C（，2，0）
　　設(shè)=λ，0＜λ＜1
　　∴=（-，-2，）
　　則=+=（，1，0）+λ（-，-2，）=（-λ，1-2λ，λ）
　　又=（，0，0）
　　設(shè)=（a，b，c）是面DEF的法向量，
　　則·=0·=0
　　∴a=0（1）a（1-λ）+b（1-2λ）+cλ=0 （2）
　　顯然=（0，0，1）是面ABCD的法向量。
　　∴面DEF⊥面ABCD?圳·=0
　　∴c=0 （3）
　　由（1）（2）（3），得a=0，令b=1，則λ=.
　　即取PC中點(diǎn)F，可使得平面DEF⊥平面ABCD.
　　點(diǎn)評(píng)：立體幾何中線、面平行與垂直的證明，在向量中可轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，從而用計(jì)算的方法達(dá)到目的。探索點(diǎn)的位置，可假設(shè)存在（設(shè)一參數(shù)），通過(guò)向量的運(yùn)算解決此參數(shù)即可。