采用鏡像延拓和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理EMD中端點效應(yīng)*

韓建平,, 錢 炯, 董小軍

(1蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所 蘭州,730050) (2同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室 上海,200092)

引 言

希爾伯特-黃變換 (Hilbert-Huang transform,簡稱 HHT)在海洋、地震、生物和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測等領(lǐng)域的應(yīng)用中顯示出了獨特的優(yōu)勢[1-4]。 HHT包含兩個基本過程:經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,簡稱 EMD)和Hilbert變換。通過 EMD可將復(fù)雜信號分解成有限個固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,簡稱 IMF)之和,然后對各個 IMF進(jìn)行 Hilbert變換,研究信號的時頻能量分布,得到的Hilbert譜在聯(lián)合的頻率-時間域中描述原始信號具有較高的時頻分辨率[5]。國內(nèi)外學(xué)者對EMD邊界處理方法作了許多研究,主要有鏡像延拓法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法[7-8]、AR預(yù)測法[9]、多項式外延法[10]及波形特征匹配延拓法[11]等。

本文選擇鏡像延拓法和徑向基函數(shù)(radial basis function,簡稱 RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法作為 EMD中邊界處理的方法,對一組簡單數(shù)值模擬信號和一組 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗實測加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理和分解,并對這兩種邊界處理方法的效果進(jìn)行了討論。

1 端點效應(yīng)的產(chǎn)生及影響

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解中,求包絡(luò)平均是通過對原數(shù)據(jù)中的上極值點和下極值點分別進(jìn)行樣條插值擬合,然后再平均。在樣條插值時,由于端點處極值的不確定性,每一次樣條插值都有擬合誤差,誤差不斷累積,分解出來的第l個 IMF端點處會有較大的誤差。第 2個 IM F的分解是建立在原始數(shù)據(jù)減去第 1個IMF的殘余項的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,由于第 1個 IM F的誤差,使殘余項也產(chǎn)生誤差,導(dǎo)致分解的第 2個 IM F產(chǎn)生更大的誤差。依此類推,隨著分解的進(jìn)行,誤差就會由端點處向內(nèi)逐漸傳播,最后在嚴(yán)重的情況下會使分解的數(shù)據(jù)完全失去意義[8]。數(shù)值仿真信號的分解可以明顯地反映端點效應(yīng)的影響,如下

如圖1所示,該數(shù)據(jù)序列只存在3個極大值點和4個極小值點,所得上、下包絡(luò)線均出現(xiàn)失真,尤其是上包絡(luò)線在信號兩端出現(xiàn)巨大的失真。同時,由于數(shù)據(jù)序列很短,由端點處造成的包絡(luò)誤差已經(jīng)“污染”到整個數(shù)據(jù)序列。

圖2是未對原始信號x(t)進(jìn)行邊界處理時,通過 EMD得到的各階 IM F分量與各自對應(yīng)的真實信號的對比。分解得到的各階IMF分量與真實信號相比,均出現(xiàn)了偏差,尤其是低頻分量,偏差已經(jīng)非常大,未分解出第3階分量。由于三次樣條插值時需要用到前后各兩個臨近點,利用三次樣條函數(shù)進(jìn)行曲線擬合出現(xiàn)這樣的問題是很自然的,解決的惟一途徑是在數(shù)據(jù)序列的兩端各增加一個或多個極大值和極小值。

圖1 原始數(shù)值模擬信號及其上、下包絡(luò)線

圖2 無邊界處理的數(shù)值模擬信號 EMD分解

2 鏡像閉合延拓

根據(jù)鏡像的對稱映射特點,為盡量減少鏡像的副作用,將鏡子放置在信號具有對稱性極值所在位置,首先繪出信號左、右兩端的一段曲線及相應(yīng)的極值,根據(jù)曲線的分布特征,決定放置鏡子的位置。如在從信號左邊起向右的第l個極值處和從信號右邊起向左的第r個極值處分別放置兩面平面鏡,把鏡內(nèi)的信號向外進(jìn)行映射,得到序列長度為兩倍于鏡內(nèi)信號長度的周期性信號。經(jīng)鏡像延拓后的信號不含端點(具有周期性)。由于信號的閉合性,在后續(xù)的EMD過程中則不會遇到端點的延拓問題。因此,鏡像閉合延拓法可用于處理 EMD的端點效應(yīng)。

圖3為數(shù)值仿真信號經(jīng)過鏡像延拓法處理后的EMD結(jié)果。可以看出,采用鏡像延拓法對原始信號進(jìn)行處理后可以分解得出3階 IM F。其中,第 1階為高頻,IMF分量與真實信號偏差很小,基本上與原始信號重合;而后 2階低頻的 IM F分量仍存在一定的偏差,但分解效果明顯好于無邊界處理時的分解。

圖3 采用鏡像延拓處理后的數(shù)值模擬信號的 EM D

3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)序列延拓

采用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),可以根據(jù)整個時間序列的表現(xiàn)特性以及時間序列在端點的具體形式對其加以延拓,在數(shù)據(jù)兩端延拓出極值點。

首先,把相鄰的 50個數(shù)據(jù)作為輸入向量,與之相連的1個數(shù)據(jù)作為輸出向量,形成訓(xùn)練樣本。本文一共選擇了 850個訓(xùn)練樣本,將其輸入到網(wǎng)絡(luò)中以訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),同時選取預(yù)測誤差最小的擴展常數(shù)來調(diào)試網(wǎng)絡(luò)。圖4表明 851個內(nèi)推值與原始信號基本重合,然后每次將前一次預(yù)測的值重新加入網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí),在此基礎(chǔ)上預(yù)測后一個值,不斷地重復(fù)學(xué)習(xí)預(yù)測,最終可以在數(shù)據(jù)序列的兩端延拓出極大值點或極小值點,如圖 5所示。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對數(shù)值模擬信號的預(yù)測

圖5 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓后的數(shù)值模擬信號

利用基于 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓得到的數(shù)據(jù)序列與原始信號構(gòu)成一個新的信號,EMD分解過程中得到的包絡(luò)線如圖 6所示。與原信號包絡(luò)圖的對比表明,經(jīng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓后,三次樣條插值得到的包絡(luò)圖失真現(xiàn)象得到了明顯的改善。利用鏡像法處理后的分解結(jié)果如圖 7所示,與圖 3相比,較好地分解出了全部 3個 IMF分量,同時各階 IMF分量與真實信號的偏差明顯減小,分解精度大為提高。

圖6 經(jīng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測和鏡像延拓處理后信號的上、下包絡(luò)線

圖7 經(jīng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測和鏡像延拓處理信號的 EM D分解

4 結(jié)構(gòu)實測振動信號的處理與分解

選用同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室完成的單跨 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗所得的加速度數(shù)據(jù)作為復(fù)雜信號,來驗證本文提出方法的有效性。某工況下結(jié)構(gòu)頂層X方向一測點在 El Centro地震波激勵下的實測加速度信號如圖 8所示[12]。根據(jù) Fourier分析結(jié)果,選取合適的帶通濾波頻率對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。濾波后的加速度信號如圖 9所示。

圖8 某測點加速度響應(yīng)原始信號

圖9 濾波后的加速度響應(yīng)信號

利用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對濾波后的信號進(jìn)行延拓,把相鄰的 50個數(shù)據(jù)作為輸入向量,與之相連的1個數(shù)據(jù)作為輸出向量,形成訓(xùn)練樣本;選取預(yù)測誤差最小的擴展常數(shù)來調(diào)試網(wǎng)絡(luò),選擇得到2 638個內(nèi)推值與濾波后的信號基本重合,如圖 10所示?；谕瑯拥姆椒A(yù)測出信號前后未知的100個數(shù)據(jù),圖 11為延拓后的信號。未進(jìn)行邊界處理、直接對濾波后的加速度響應(yīng)信號的 EMD結(jié)果如圖12所示。采用鏡像法,對經(jīng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓后信號的 EMD結(jié)果如圖13所示。

圖10 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓后的加速度響應(yīng)信號

圖11 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對濾波后加速度響應(yīng)信號的預(yù)測

圖12和圖13的對比表明,信號未進(jìn)行邊界處理而分解出來的 IM F分量只有 4個,且各個 IMF分量的端點都有失真的現(xiàn)象;而經(jīng)過 RBF對信號延拓、再采用鏡像法處理后的分解比較完全,一共分解出了7個 IMF分量,端點失真現(xiàn)象明顯減弱。

5 結(jié) 論

本文在探討端點效應(yīng)出現(xiàn)原因的基礎(chǔ)上,提出采用鏡像法和 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓法處理 EMD中的端點效應(yīng)問題,并利用這些方法對一組數(shù)值仿真信號和 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗實測加速度記錄進(jìn)行了處理及分解。結(jié)果表明,這兩種方法基于邊界兩端預(yù)測數(shù)據(jù),可以抑制邊界效應(yīng)對分析信號的影響,在一定程度上都提高了 EMD的分解效果。在處理簡單周期信號中,利用鏡像延拓、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測或先用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測、再采用鏡像延拓處理信號都是有效的。對于復(fù)雜信號,僅采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓原始信號對減弱端點效應(yīng)的影響沒有明顯改進(jìn);而對信號經(jīng)濾波后先利用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓,再利用鏡像法進(jìn)行處理,可以明顯減弱端點效應(yīng)的影響。

圖12 無邊界處理的加速度響應(yīng)信號 EM D分解

圖13 經(jīng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測和鏡像延拓處理的濾波后加速度響應(yīng)信號的 EM D分解

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