石雕橢圓形廓多軸聯(lián)動磨削的數(shù)學(xué)模型

陳為旭 張濟(jì)宇

福州大學(xué),福州,350002

0 引言

由于石材特性及需要不同造型的特殊性,石雕型面加工中需用多軸聯(lián)動加工設(shè)備[1],這與金屬切削機(jī)床有本質(zhì)的不同。石材多以切邊、切片、平面磨光及筆式雕刻等類型為主,大多采用PLC控制器和變頻器,以驅(qū)動變頻電機(jī)為主要控制結(jié)構(gòu),且雕刻機(jī)所配置的數(shù)控系統(tǒng)中聯(lián)動軸數(shù)少,不易實現(xiàn)復(fù)雜型面的自動加工;同時控制系統(tǒng)提供給用戶的一般只有直線和圓弧插補(bǔ)指令,在加工復(fù)雜曲線時,需對復(fù)雜曲線進(jìn)行分段,采用小段直線插補(bǔ)或圓弧插補(bǔ)等指令進(jìn)行循環(huán)逼近[2],會出現(xiàn)數(shù)控代碼量增大、逼近精度差及加工速度受限等問題而無法實現(xiàn)復(fù)雜石材型面的批量生產(chǎn)[3]。在一些進(jìn)口的多軸聯(lián)動石材設(shè)備中,可結(jié)合CAD型面造型軟件來設(shè)計石材型面及加工出復(fù)雜石雕產(chǎn)品,但目前僅在少數(shù)企業(yè)中得到應(yīng)用,由于該設(shè)備價格昂貴,又沒有提供四軸以上的多軸聯(lián)動編程技術(shù),在實際應(yīng)用中效果不佳。

本文基于國產(chǎn)的石材加工設(shè)備,通過電氣控制結(jié)構(gòu)的改造分析,建立五軸聯(lián)動控制系統(tǒng)[4],對復(fù)雜型面進(jìn)行橢圓曲面的插補(bǔ)擬合,同時采用大規(guī)格切片磨輪,通過控制磨片的空間相對位置,形成橢圓磨削形廓,設(shè)計形廓中心的空間運(yùn)動軌跡,導(dǎo)出多軸聯(lián)動復(fù)雜運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型,使磨片包絡(luò)出各種不同的橢圓型面,并擬合出復(fù)雜石雕型面,最終有效地實現(xiàn)了復(fù)雜型面的自動加工,提高了精度和效率。

1 多軸聯(lián)動石雕磨床的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析

我國當(dāng)前的石材加工仍屬于勞動密集型產(chǎn)業(yè),設(shè)備的控制系統(tǒng)通常不能多軸聯(lián)動,一般只能實現(xiàn)切邊、磨面及筆式雕刻等操作。本文基于國產(chǎn)QSJ改進(jìn)型石材自動橋式切機(jī),對其機(jī)械、電氣和軟件進(jìn)行分析、改進(jìn),構(gòu)成五軸聯(lián)動控制系統(tǒng),以實現(xiàn)復(fù)雜型面的自動加工。

1.1 機(jī)械結(jié)構(gòu)分析

圖1所示為QSJ改進(jìn)型石材加工設(shè)備,具備五軸聯(lián)動控制的結(jié)構(gòu)功能。

石雕工件固定在工件回轉(zhuǎn)臺1上,沿著垂直立軸在水平面上做C軸回轉(zhuǎn)。金剛石圓磨片2安裝在水平磨削主軸3上,沿著垂直立軸在水平面上做B軸回轉(zhuǎn)。水平磨頭4沿著立軸做y軸的上下直線運(yùn)動。立軸聯(lián)同磨頭沿著橫梁導(dǎo)軌5做縱軸x的左右直線運(yùn)動。橫梁聯(lián)同立軸和磨頭沿著左右橫向支架導(dǎo)軌6做橫軸z的前后直線運(yùn)動。

根據(jù)石雕形廓的曲率大小,選用相應(yīng)直徑的金剛石磨片,根據(jù)曲率吻合原則[5],回轉(zhuǎn)B軸,使磨片與工件的曲率吻合,控制x、y、z及C軸,通過五軸聯(lián)動,可最大效率地加工出石雕復(fù)雜形廓。

1.2 電氣控制結(jié)構(gòu)分析

圖1所示石材設(shè)備的原型設(shè)計的控制系統(tǒng)是采用PLC控制器來控制變頻器的,以驅(qū)動變頻電機(jī)為主要結(jié)構(gòu),結(jié)合型面磨輪,常用于加工直線型、回轉(zhuǎn)型曲面,雖具有五軸控制結(jié)構(gòu),但聯(lián)動軸數(shù)少,無法實現(xiàn)精確的多軸聯(lián)動控制。

現(xiàn)對該設(shè)備進(jìn)行五軸聯(lián)動控制結(jié)構(gòu)改造,采用工控微機(jī),通過PCI接口,連接伺服電動機(jī)的運(yùn)動控制卡,經(jīng)過伺服控制器,驅(qū)動伺服電動機(jī)及聯(lián)軸器,這一五軸聯(lián)動電氣控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

復(fù)雜型面可在工控微機(jī)上用造型軟件生成[6],也可采用數(shù)控代碼進(jìn)行編輯設(shè)計,然后執(zhí)行加工指令,產(chǎn)生數(shù)控指令,通過運(yùn)動控制卡,發(fā)出伺服電動機(jī)的控制指令,經(jīng)過驅(qū)動器的閉環(huán)控制,驅(qū)動伺服電動機(jī)作伺服運(yùn)動,經(jīng)過聯(lián)軸器驅(qū)動滾珠絲桿,實現(xiàn) x、y、z軸的直線運(yùn)動;此外,電動機(jī)經(jīng)過聯(lián)軸器驅(qū)動蝸杠蝸輪實現(xiàn)B、C軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動,從而構(gòu)成五軸聯(lián)動。

1.3 軟件設(shè)計分析

首先,在工控微機(jī)上安裝曲面造型CAD軟件[7],通過NURBS曲面[8]來體現(xiàn)曲面形狀[9]及實現(xiàn)復(fù)雜石雕型面的造型設(shè)計,進(jìn)一步求出復(fù)雜型面的型值點(diǎn),采用橢圓線段對型值點(diǎn)進(jìn)行橢圓曲面擬合,產(chǎn)生橢圓擬合線段,并得出每一橢圓線段的離心率參數(shù)。

然后,依據(jù)橢圓線段的離心率參數(shù),選用相應(yīng)直徑的金剛石磨片,并確定其在B軸上的回轉(zhuǎn)角度,如此可使磨片的有效切削形廓也為橢圓形廓,設(shè)計并給出金剛石磨片回轉(zhuǎn)中心的運(yùn)動軌跡,使其有效切削形廓,包絡(luò)出工件上的橢圓曲線,實現(xiàn)工件橢圓線段精密和高效的磨削加工。

顯然,金剛石磨片回轉(zhuǎn)中心的運(yùn)動軌跡是一個非常復(fù)雜的運(yùn)動曲線,為此,本文將其作為設(shè)計與推導(dǎo)的重點(diǎn)內(nèi)容。

2 石雕橢圓廓面數(shù)控磨削的位置關(guān)系

2.1 石雕廓面橢圓擬合算法分析

為了加工圖3所示的復(fù)雜動物雕像或龍柱柱體等工件,一般首先采用CAD造型軟件,設(shè)計其形廓,采用多邊形建模方式為主,輔以曲面造型技術(shù),設(shè)計出圖4所示的網(wǎng)格圖。

從圖4可以看出,石雕形廓中包含著許許多多的復(fù)雜曲線,一般由樣條曲線構(gòu)成,樣條曲線上包含著確定曲線特征的型值點(diǎn)。如果采用常規(guī)的小段直線或圓弧擬合這些樣條曲線,則擬合量大且精度差。現(xiàn)沿著x軸方向,以給定步長Δx對復(fù)雜形體進(jìn)行逐步切片,則可形成如圖5所示的切面集合,且每一切面的外廓曲線上包含著一系列的型值點(diǎn)。

采用橢圓曲線擬合每一切面的外廓曲線,有多種算法,如基于 HOUGH變換的橢圓擬合方法,基于不變矩方法和基于最小二乘法等[10]。在平面坐標(biāo)中,根據(jù)橢圓中心點(diǎn)坐標(biāo)(y0,z0)、橢圓長軸的旋轉(zhuǎn)角度θ、半長軸p及半短軸q這5個參數(shù)可以確定一個橢圓,該橢圓的方程可以表示為

根據(jù)切面上樣條曲線上相鄰的5點(diǎn),將其坐標(biāo)(yi,zi)代入式(1),即可求出 y0、z0、θ、p、q這 5個參數(shù)值,從而確定該5個樣本點(diǎn)擬合的橢圓曲線。擬合算法如下:

(1)從起始點(diǎn)p1開始,取出相鄰的5個型值點(diǎn),分別代入式(1),得到聯(lián)立方程組,求解y0、z0、θ、p、q這5個參數(shù)值,如求出的參數(shù)值為實數(shù),則擬合成功,轉(zhuǎn)入(3);如求出的參數(shù)值含有虛數(shù),則轉(zhuǎn)入(2),進(jìn)行糾正處理。

(2)在公差允許的范圍內(nèi),分別調(diào)整5個型值點(diǎn)的坐標(biāo)值,直到求出的 y0、z0、θ、p、q這5個參數(shù)值為實數(shù)值止;如不能成功,則需丟棄第5個型值點(diǎn),另在前4個型值點(diǎn)中增加一個樣本點(diǎn),按(1)求解擬合橢圓曲線。

(3)采用代數(shù)距離法,將后續(xù)的型值點(diǎn)逐個代入擬合出的橢圓方程內(nèi),檢測其誤差,若代數(shù)距離小于指定的公差值,則確定該后續(xù)的型值點(diǎn)位于所擬合的橢圓線段內(nèi),予以丟棄,直到代數(shù)距離超出公差為止。

(4)若代數(shù)距離大于指定的公差值,則取其前相鄰的一個型值點(diǎn)和其后相鄰的3個型值點(diǎn),組成5個型值點(diǎn),按照(1)進(jìn)行下一橢圓線段的擬合處理,直到終點(diǎn)結(jié)束。

討論1:代數(shù)距離[11]不同于實際的幾何距離,以代數(shù)距離確定精度存在一定的誤差,但在石材粗加工中,精度要求不是很高,通過確定代數(shù)距離的量級水平,可以滿足要求。

討論2:對于局部細(xì)小形廓,型值點(diǎn)密集,會遇到擬合的橢圓曲率半徑太小,難以實現(xiàn)加工。因此,先忽略局部細(xì)小形體結(jié)構(gòu),這些結(jié)構(gòu)可通過后續(xù)精加工工序,采用小型刻刀切出,以便于提高粗切效率。

對于復(fù)雜石雕雕像的形體結(jié)構(gòu),通過多條橢圓曲線的擬合后,就構(gòu)成了不同離心率的橢圓曲線的集合。

2.2 多軸聯(lián)動數(shù)控磨削的位置關(guān)系分析

在分析出復(fù)雜形體的橢圓曲線集合后,即可選用相應(yīng)的磨片直徑,控制B軸轉(zhuǎn)角,使磨片位于相對于工件的橢圓曲面,其相對位置示意如圖6所示。

磨片操作時,先控制x、y、z軸聯(lián)動,使磨片的橢圓形廓包絡(luò)出工件上的橢圓形廓,以實現(xiàn)高效精確的型面加工。在磨片強(qiáng)度和加工余量許可的條件下,通過控制進(jìn)給速度,或控制B、C兩回轉(zhuǎn)軸參與聯(lián)動,來實現(xiàn)復(fù)雜的五軸聯(lián)動軌跡控制。

3 石雕橢圓廓面的多軸聯(lián)動磨削的數(shù)學(xué)模型設(shè)計

如上所述,回轉(zhuǎn)B軸,控制磨片轉(zhuǎn)角,形成橢圓形的磨片形廓,實現(xiàn)不同的有效磨削點(diǎn)曲率,用于包絡(luò)工件復(fù)雜的橢圓型面,可最大限度地滿足曲率吻合原則。但在磨削的包絡(luò)過程中,有效磨削點(diǎn)沿著磨片橢圓面上連續(xù)變動,因此磨片的空間位置,也就是磨片中心點(diǎn)的空間坐標(biāo),也要隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整,才能確保變動的磨削點(diǎn)在工件上磨出橢圓形廓。為此分析磨削點(diǎn)的運(yùn)動軌跡,進(jìn)而得出描述磨片中心點(diǎn)控制軌跡的數(shù)學(xué)模型是首要的關(guān)鍵。

3.1 磨削點(diǎn)的運(yùn)動軌跡分析

磨削點(diǎn)的運(yùn)動軌跡,也就是最終在工件上包絡(luò)出的軌跡,對于石雕橢圓廓面來說,其軌跡就是橢圓曲線,如圖7所示。

設(shè)定通用的磨削點(diǎn)的初始位置為P0(x0,y0,z0),沿著橢圓曲線P0PiPe,運(yùn)動到終點(diǎn)Pe(xe,ye,ze),則其動點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)的坐標(biāo)為

式中,t為磨削點(diǎn)Pi在曲線P0PiPe于 yz平面上的投影橢圓曲線上的離心角(t=0～ 90°);s為磨削點(diǎn) Pi在曲線P0PiPe于xy平面上的投影橢圓曲線上的離心角(s=0 ～ 90°)。

為了磨削出橢圓曲線P0PiPe,需要控制磨片的相對位置。

3.2 磨削切片與石雕工件相對位置的數(shù)學(xué)模型

磨片與石雕工件的相對運(yùn)動如圖8所示,基于本文設(shè)計的五軸數(shù)控磨床在加工橢圓曲線P0PiPe時有如下關(guān)系:

(1)將石雕工件曲線P0PiPe的橢圓中心作為磨床的相對坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)定磨削點(diǎn)坐標(biāo)為Pi(xi,yi,zi),則 xi,yi,zi應(yīng)滿足式(2)～ 式(4)。

(2)磨削砂輪沿B軸回轉(zhuǎn),直到磨削面貼合待磨石雕的表面,為避免干涉,必要時可留出1°～2°的磨削后角。當(dāng)砂輪轉(zhuǎn)過 b角度后,在 xy平面上的投影也是橢圓,其中心為Oi(x,y,z),因此,從砂輪中心Oi至磨削點(diǎn)Pi在z軸方向上的距離Wp,及在y軸方向上的距離Wq和在x軸方向上的距離Ww應(yīng)滿足如下關(guān)系:

式中,Wz為砂輪中心與起始磨削點(diǎn)在z向上的距離;Wr為砂輪半徑;Wx為砂輪中心與起始磨削點(diǎn)在x向上的距離;T為磨削點(diǎn)Pi在砂輪于yz平面上投影橢圓Oi上的離心角(T=0～ 90°);S為磨削點(diǎn)Pi在砂輪于xy平面上的投影橢圓Oi上的離心角(S=0～ 90°)。

(3)石雕工件沿C軸回轉(zhuǎn),僅用于回轉(zhuǎn)形工件表面的磨削運(yùn)動,因此在討論橢圓曲線P0PiPe的磨削運(yùn)動時,不參與聯(lián)動。

當(dāng)橫軸z沿橫向運(yùn)動,使砂輪中心坐標(biāo)從z=z0+Wz運(yùn)動到z=0位置(其中,z0是橢圓形曲線P0PiPe的起始磨削點(diǎn)在z向的坐標(biāo)),這時立軸y與z聯(lián)動,可使砂輪的包絡(luò)面吻合橢圓曲線P0PiPe,同時砂輪中心的縱坐標(biāo)將從y=0運(yùn)動到y(tǒng)=ye+Wr(其中,ye是橢圓形曲線P0PiPe的終點(diǎn)在y向的坐標(biāo))。則y與z的聯(lián)動關(guān)系可從圖6導(dǎo)出,當(dāng)砂輪運(yùn)行到磨削點(diǎn)Pi時,砂輪中心坐標(biāo)Oi(x,y,z)應(yīng)為

(4)首先在yz平面上考察砂輪投影橢圓與工件橢圓曲線的相對位置關(guān)系,由于工件形廓是由磨片橢圓形廓包絡(luò)形成,所以橢圓Oi與橢圓曲線P0PiPe相切,則有

將式(2)、式(3)、式(5)、式(6)代入式(11),得

于是有

式(5)經(jīng)變換得

將式(12)代入上式,有

將式(13)及式(2)一并代入式(8)后,有

同理,變換式(6)得出

也將式(12)代入上式,有

將式(15)及式(3)一并代入式(9)后,有

(5)在 xy平面上考察砂輪投影橢圓曲線與工件橢圓曲線的相對位置關(guān)系,由于此時砂輪的形廓橢圓與工件的形廓橢圓不一定相切,且砂輪磨片的形廓與厚度不同,均會產(chǎn)生不同程度的磨削干涉,這時需要通過調(diào)整B軸來改變砂輪擺角以避免干涉。

同樣,從圖6中的xy平面中可以得出:

比較式(17)與式(3),有

由于s與t為同一磨削點(diǎn)在所形成的橢圓軌跡上的離心角,且s與t的取值均限制在0～ 90°范圍內(nèi),可知s與t相等。于是,式(4)變?yōu)?/p>

對圖6中xy平面上的砂輪形廓有

比較式(19)與式(6),有

由于S與T均限制在0～90°范圍內(nèi),可知其對應(yīng)的砂輪上的磨削點(diǎn)的離心角也應(yīng)限制在0～90°范圍內(nèi),所以 S=T,代入式(6)后,得出:

將式(12)代入上式后,有

將式(20)及式(18)一并代入式(10)后,有

至此,式(14)、式(16)、式(21)構(gòu)成了磨削橢圓形曲線在P0PiPe時x、y、z的聯(lián)動曲線關(guān)系,也即磨削橢圓曲線的三直線軸聯(lián)動的數(shù)學(xué)模型,在切削條件允許狀態(tài)及精磨要求磨削量較小時,配合砂輪B軸的回轉(zhuǎn)及工件C軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動,構(gòu)成了一個五軸聯(lián)動的控制模式,實現(xiàn)了加工相應(yīng)復(fù)雜型面的目的。

需要指出的是,該五軸控制系統(tǒng)的多軸聯(lián)動控制模型是與橢圓曲線的離心角相關(guān)的復(fù)雜的曲線關(guān)系,離心角取值不同,可實現(xiàn)不同線段的控制。在進(jìn)行插補(bǔ)控制時需要采用必要的逼近措施,即選用合適的插補(bǔ)算法[12]以實現(xiàn)聯(lián)動控制。

4 測試

基于本文提出的五軸聯(lián)動控制模式,在QSJ改進(jìn)型石材自動橋式切機(jī)上進(jìn)行了如圖3所示的實際石雕工件復(fù)雜型面的磨削測試,過程如下:

(1)毛料及原始參數(shù)。選用花崗石毛料,牌號G687,莫式硬度為6.9,原始尺寸的長×寬×高為1600mm×400mm×1200mm;切削刀具為金剛石切片,粗切刀具尺寸為φ 600mm×4.6mm,精切刀具尺寸為 φ 200mm×2.6mm;粗切速度為 5 m/min(輔以手動調(diào)速,以防石材破裂),精切速度為1m/min。

(2)曲面造型,設(shè)計石雕形廓。采用CAD造型軟件,先設(shè)計出圖3所示馬的形廓,目標(biāo)尺寸長×寬×高為1523mm×312mm×1088mm,然后再生成圖4所示的網(wǎng)格圖。

(3)以縱向增量 Δ x=15～20mm為步長,在總長為1523mm的長度方向上共切出90個切面,參考圖5,采用本文提出的算法分別對每一個切面外廓曲線進(jìn)行橢圓擬合,計算出每一橢圓擬合線段連接點(diǎn)的坐標(biāo)值。以第31個切面為例,切出的切面如圖5所示,擬合出的橢圓線段連接點(diǎn)的坐標(biāo)是:Pi(yi,zi)=[(950.462,0.000);(943.594,—23.486);(878.824,—105.616);(813.850,—105.616);(775.989,—120.098);(731.426,—126.582);(698.348,—128.318);(675.331,—134.001);(619.339,—143.476);(550.709,—132.801);(538.622,—126.881);(523.724,—124.348);(467.829,—118.532);(414.876,—103.187);(369.509,—89.277);(321.340,—86.949);(297.693,—90.778);(271.635,—89.666);(210.703,—76.837);(127.153,—83.312);(106.370,—84.151);(83.578,—79.427)]。

i=1,2,…,22,即用 22個型值點(diǎn),共12段橢圓弧,擬合出高為950.462mm的第31個切面上左半邊樣條曲線,其右半邊與之對稱,采用對稱功能即可實現(xiàn)加工。

(4)根據(jù)每一橢圓擬合線段的起止坐標(biāo),分別計算出各橢圓線段的離心角t。

(5)選用相應(yīng)的磨削切片,調(diào)整 x、y、z、B 、C五軸的初始位置。B、C兩軸根據(jù)實際曲線形狀和控制參數(shù)參與聯(lián)動進(jìn)給。

采用式(14)、式(16)、式(21)計算出磨削切片中心點(diǎn)相對于工件的運(yùn)動軌跡坐標(biāo),并配合參數(shù)曲線插補(bǔ)控制算法[12],使磨片的橢圓運(yùn)動軌跡的磨削點(diǎn)包絡(luò)出工件上的橢圓軌跡。

具體切削過程包括:粗切→去毛料→精切→局部精雕→拋光等工序。

粗切后的工件如圖9所示。精切拋光后的成品如圖3所示。測試結(jié)果對比如下:

(1)當(dāng)采用傳統(tǒng)的人工雕刻技術(shù)來完成圖3所示1m高的工件雕像時,不包括圖紙設(shè)計繪制時間在內(nèi),人工雕刻至少需兩人兩周時間,即人均1個月時間才能完成。

(2)采用本文設(shè)計的五軸聯(lián)動自動橋式磨切設(shè)備加工時,不包括CAD形體編程設(shè)計的時間在內(nèi),僅需1人兩天即可完成。

相比而言,采用本文研究的加工技術(shù)后,效率大幅提高,更重要的是確保了重復(fù)精度和降低了粗磨誤差,減輕了勞動強(qiáng)度,提高了加工自動化技術(shù)水平,改善了操作人員的勞動條件與環(huán)境。

5 結(jié)束語

對類同于國產(chǎn)QSJ改進(jìn)型石材自動橋式磨切設(shè)備,均可通過結(jié)構(gòu)改造,建立五軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)。應(yīng)用CAD造型軟件,設(shè)計復(fù)雜石雕型面,得出型面的網(wǎng)格結(jié)構(gòu),分析出每一切面的型值點(diǎn)。根據(jù)復(fù)雜型面的型值點(diǎn),結(jié)合曲面造型擬合出的樣條曲線上的樣本點(diǎn),采用本文提出的橢圓擬合算法,進(jìn)行復(fù)雜石雕工件的橢圓曲面擬合,得出擬合橢圓線段集合。根據(jù)本文推導(dǎo)出的五軸聯(lián)動數(shù)學(xué)模型及控制模式,實現(xiàn)了磨片上橢圓形磨削軌跡包絡(luò)出石雕型面上的橢圓曲線,實際測試證明該橢圓擬合技術(shù)能實現(xiàn)復(fù)雜型面高效精確地磨削加工。

[1]Luo Jiman,Xing Yan,Wang Dan,et al.New Type Parallel RobotManipulatorofStone Machining[C]//Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics.Qingdao:IEEE,2008:2417-2419.

[2]Yong T,Narayanaswami R.A Parametric Interpolator with Confined Chord Errors,Acceleration and Deceleration for NC Machining[J].Computer—aided Design,2003,35:1249-1259.

[3]王宇晗,肖凌劍,曾水生,等.小線段高速加工速度銜接數(shù)學(xué)模型[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,2004,38(6):901-904.

[4]Zhong Yunqing.Design on Mechanical System for Optimal Cutting Movement Trajectory of High—efficacy Stone—sawing Mchinine[C]//2007 IEEE International Conference on Control and Automation.Guangzhou:IEEE,2007:621-624.

[5]倪炎榕,馬登哲,張洪,等.圓環(huán)面刀具五坐標(biāo)數(shù)控加工復(fù)雜曲面優(yōu)化刀位算法[J].機(jī)械工程學(xué)報,2001,37(2):87-91.

[6]韓福柱,程剛,陳希明,等.電火花線切割加工自由曲面的CAD/CAM軟件[J].清華大學(xué)學(xué)報,2005,45(11):1472-1475.

[7]黃國欽,謝明紅,徐西鵬.圓鋸片數(shù)控加工異性石材線條的自動編程系統(tǒng)開發(fā)[J].金剛石與磨料磨具工程,2005,148(4):33-37.

[8]Chiou J C J,Lee Y S.Five—axis High Speed Machining of Sculptured Surfaces by Surface—based NURBS Path Interpolation[J].Computer—aided Designed and Applications,2007,4(5):639-648.

[9]Lei W T,Sung M P,Lin L Y,et al.Fast Real—time NURBS Path Interpolation for CNC Machine Tools[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,2007,47:1530-1541.

[10]閆蓓,王斌,李媛.基于最小二乘法的橢圓擬合改進(jìn)算法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報,2008,34(3):295-298.

[11]雷志術(shù),張雁波.橢圓定形曲線擬合問題若干新型算法[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,2002,36(8):1210-1213.

[12]游有鵬,王氓,朱劍英.參數(shù)曲線的自適應(yīng)插補(bǔ)算法[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報,2000,32(6):667-671.