大地測量Stokes邊值問題的自然邊界元解法*

唐元義 許厚澤 胡清峰 駱有隆

(湖北大學數學與計算機科學學院1) 武漢 430062)

(中國科學院測量與地球物理研究動力大地測量學重點實驗室2) 武漢 430077)

(武漢理工大學管理學院3) 武漢 430070)

0 引 言

大地測量邊值問題,一般利用Stokes公式,采用有限差分法或快速富氏變換(FFT)等來計算.唐元義等研究了用自然邊界元法對大地測量的第二、第三邊值問題進行求解[1-2],所采用的方法是由Neumann外問題得大地測量邊值問題的自然積分方程,然后再離散求解.

現在根據自然邊界元的基本思想,直接得到大地測量Stokes邊值問題的自然積分方程,再用離散化技術進行求解.

1 Stokes邊值問題

地球重力場可以用地球重力位來表達.通常把重力位W分成2部分:正常重力位U和擾動位T.正常重力位U可用4個大地測量基本參數來確定,是一個已知函數;擾動位 T是一個待求的微量函數.大地測量邊值問題,就是利用觀測數據給定邊值條件,來推求擾動位及外部重力場的問題.

假定通過重力歸算,已經把大地水準面外的地球質量去掉,并假定正常橢球中心與地球質心重合,旋轉角速度等于地球自轉角速度,則大地水準面外空間的擾動位滿足Lap lace微分方程,即Δt=0,而且在無窮遠處是正則的.

已知觀測量是重力異常 Δg,求擾動位的問題,就是大地測量Stokes邊值問題

上面第一式為擾動位 T的Lap lace方程;第二式為物理大地測量學的基本微分關系.式中γ為正常重力,左端是T和 的線性組合(n為邊界面的外法線方向),右端的重力異常是已知的,邊界面一般為大地水準面.

用球面近似代替大地水準面,即所謂的球近似,這使 T具有扁率級的誤差.物理大地測量Stokes邊值問題,在球近似的情形下可歸結為如下的Robin問題

式中:S為球面,SC球面外部.

2 擾動位的Poisson積分式表示

由于擾動位 T=W-U是諧函數,可以用Poisson積分式表示為

式中 :T(r,θ,λ)為計算點的擾動位 ;T(R,θ′,λ′)為球面r=R上的擾動位;ψ為球面上計算點(θ,λ)與積分流動點(θ′,λ′)的球心角

擾動位 T(r,θ,λ)也寫成諧函數級數形式

式中:Tl(θ,λ)為 l階的 Lap lace面諧函數

將式(1)對r求導,得諧函數的徑向導數

在地球外,邊值條件為

將式(2)代入式(3)得

當r=R時,就變為

即為重力異常的球諧表達式.

3 邊值問題的自然邊界元法

在式(4)兩邊同時乘以γˉT,?γˉT∈T(S)(γ為跡算子,T(S)由自然積分算子K導出的跡空間[3]),再作內積,也仍相等,即有

式中:(· ,·)為內積(球面積分)如下式

則有

從式(7)可以看出,用離散化技術求解對自然積分方程,就可求出球面S(大地水準面)上的擾動位 T了(擾動位 T含在Tl(θ,λ)中).

4 邊值問題的自然邊界元求解

對球面S作有限元剖分,Sh(S)為相應于該剖分、由適當選取的基函數張成的H1/2(S)的線性子空間,得到自然積分方程的近似變分問題[4].

設

由此構造球面S上的分片雙線性插值基函數Φ0(θ,φ)=L0(θ),Φ1(θ,φ)=LN1(θ),Φsj(θ,φ)=Ls(θ)Mj(φ),s=1,2,…,N1-1;j=1,2,…,N2.則 Sh(S)=span{Φ0(θ,φ),Φ1(θ,φ),Φsj(θ,φ),s=1,2,…,N1-1,j=1,2,…,N2}?H1(S)

設 Th0(θ,φ)=T0Φ0(θ,φ)+T1Φ1(θ,φ)取S上的基函數,則由自然積分方程可得線性方程組

5 結 束 語

大地測量Stokes公式是傳統的經典公式,利用有限差分法或FFT,早為大地測量學家們所公認和采用.而大地測量邊值問題的自然邊界元法,用的是邊界元法,在理論上是完全正確的.

當然,在實際應用中,即在作數值計算的時,實際效果如何,是否具有比傳統的有限差分法更具有優勢,或與有限差分法結合起來,或者與有限元法結合,取長補短,等等許多問題,將是需要進一步深入研究的課題.

[1]唐元義.GPS-邊值問題的自然邊界元解法[J].武漢理工大學學報:交通科學與工程版,2007,31(2):266-269.

[2]唐元義,許厚澤.物理大地測量邊值問題的自然邊界元解法[J].武漢理工大學學報:交通科學與工程版,2008,32(1):146-148.

[3]余德浩.自然邊界元方法的數學理論[M].北京:科學出版社,1993.

[4]鄔吉明,余德浩.三維調和問題的自然積分方程及其數值解[J].計算數學,1998,20(4):419-430.