步進電動機運行曲線的優(yōu)化算法與仿真

張海英，胡金高

(福州大學，福建福州350108)

0 引 言

步進電動機開環(huán)控制因其控制相對簡單，成本較低，廣泛應用于傳統(tǒng)的經(jīng)濟型數(shù)控系統(tǒng)中。步進電動機結(jié)構(gòu)特殊，磁路狀況復雜，難以精確建模分析，但它依然滿足一定的電路方程，其轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機理和傳統(tǒng)電機也是類似的。在開環(huán)情況下，過快過慢的升降速或過大的負載都有可能引起失步，為保證電機不失步，需留有相適應的余量，性能除和升降頻控制有關(guān)外，和驅(qū)動部分也有很大關(guān)系，不同的機械負載也會影響到控制性能。由于開環(huán)控制是它控的，通常較難得到與負載相適應的平穩(wěn)升降速控制性能，但在要求高速平穩(wěn)運行的場合就須給出適當?shù)牟竭M電動機升降速控制過程，以滿足實際應用需要。

本文以步進角基本可連續(xù)控制的三相細分驅(qū)動的混合式步進電動機為研究對象，在電機運動控制方程和轉(zhuǎn)矩公式的基礎(chǔ)上建立步進電動機模型，以具體傳動應用為例，為滿足不同轉(zhuǎn)速和不同負載的需要，研究步進電動機運行曲線的優(yōu)化算法，并通過仿真給出了普通算法和優(yōu)化算法的效果比較。

1 步進電動機數(shù)學模型

通用的電機運動方程:

式中:ω為電機轉(zhuǎn)子角速度;Jm為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量;JL為折算到電機軸上的負載轉(zhuǎn)動慣量;D為系統(tǒng)粘阻尼系數(shù);Te為電機電磁轉(zhuǎn)矩;TL為折算到電機軸上的負載轉(zhuǎn)矩。

混合式步進電動機電磁轉(zhuǎn)矩近似為失調(diào)角電角度的正弦函數(shù):

式中:Tsm表示轉(zhuǎn)矩峰值;Δθ為機械失調(diào)角，即定子旋轉(zhuǎn)磁場矢量與轉(zhuǎn)子位置的夾角;Zr為電機轉(zhuǎn)子齒數(shù)。

2 電機運行曲線設(shè)計

圖1 S形升降頻曲線

電機運行曲線的設(shè)計，對電機平穩(wěn)運行、精確定位等有著至關(guān)重要的作用。考慮到應用時曲線的軟件實現(xiàn)不宜太復雜，為了使起動和停止更平滑，這里采用S形升降頻曲線。為了簡化計算，采用斜線與單周期正弦曲線的疊加形成，所得曲線如圖1所示，對應曲線方程如下:

式中:f0為起動頻率;k為升頻段平均斜率;A為正弦波幅值;ω為升頻段正弦波角速度;Tr為升頻過程時間，亦為降頻起點;fr為該曲線最高頻率;k2為降頻段平均斜率;ω2為降頻段正弦波角速度;Tm為頻率截止時間。且有:

式中:Qr為升降比例系數(shù);Qa為S形彎度系數(shù);fe為終止頻率;Tf為降頻過程時間。

在電機循環(huán)定位控制應用中，往往考慮機電平穩(wěn)性和系統(tǒng)其他部件動作協(xié)調(diào)配合要求，并不都以最快速度完成定位。故給定控制量除了定位位移，還有定位時間，升降頻運行曲線的設(shè)計需滿足給定控制量的要求。若到達給定位移需轉(zhuǎn)過S個步距角，則需輸出S個控制脈沖。式(3)頻率方程對時間t的積分等于時間Tm內(nèi)的脈沖總數(shù)，在數(shù)值上等于頻率曲線f(t)與時間軸所圍成的面積，又由于正弦曲線的對稱性，該面積可以簡化為同斜率直線段與時間軸圍成的面積，可得脈沖總數(shù)表達式:

由式(1)可知，最大加速度受運行條件(如最大電磁轉(zhuǎn)矩及負載慣量等)的限制，若對應的升頻平均斜率為kmax，則k的取值范圍為［kmin，kmax］，一般kmin取較小正數(shù)。若給定定位脈沖數(shù)S，定位時間Tref，當S足夠小，則脈沖截止時間提前;當S足夠大，則脈沖截止時間推后。故若已知f0、fe、Qa、Qr、S、Tref，將給定S分三個區(qū)間計算式(3)中的曲線參數(shù):

(1)當0＜S≤Sshort時，k=kmin，代入式(4)、式(5)可解得:

式中:a=kQr;b=(f0+fe)+(f0-fe)Qr。

(2)當Sshort＜S＜Slarge時，Tm=Tref，代入式(4)、式(5)可解得:

(3)當S≥Slarge時，k=kmin，代入式(4)、式(5)可得式(6)。

式(6)中，Sshort為k=kmin、Tm=Tref時脈沖數(shù)S;Slarge為k=kmax、Tm=Tref時脈沖數(shù)S。

一般取f0=fe，折中考慮取Qa=0.5、Qr=0.5，那么對于給定的S，總可以找到最佳參數(shù)f0來匹配Tref。

3 不同定位時間下優(yōu)化算法

在實際應用中，對于不同定位位移、不同定位時間設(shè)計不同升降頻曲線是不切實際的。通常對某一定位位移以最短定位時間Tmin對應的頻率曲線作為頻率基線，并以延時數(shù)據(jù)表的形式存儲至處理芯片中，直接調(diào)用。對于不同定位時間的頻率曲線則是對頻率基線的比例縮放獲得。具體處理方法如下:

取定位時間Tb對應的頻率曲線作為頻率基線，則對于定位時間Tref的比例系數(shù)頻率基線上的頻率點(t*，f*)對應于當前頻率曲線上點(t′*，f′*)，有

故當前頻率曲線方程:

式中，各曲線參數(shù)取頻率基線對應參數(shù)值。

若處理芯片為16位機，取定位時間Tb對應的頻率曲線作為頻率基線，延時表數(shù)據(jù)為:

式中:Δt為Tb下單步延時時間;Tint為脈沖發(fā)生器程序耗時。

對于任意一定位時間Tref，對應的單步延時定時器設(shè)置時間為:

其中，T′ref為實際定位時間。若Tref≥Tmin，則T′ref=Tref，否則T′ref=Tmin。

本文以某一數(shù)控系統(tǒng)中移框驅(qū)動為例，移框電機采用三相細分驅(qū)動的混合式步進電動機，電機型號為110BYG350C，技術(shù)參數(shù):轉(zhuǎn)子齒數(shù)50，步距角1.2°，相電流3 A，驅(qū)動電壓220 V(AC)，保持轉(zhuǎn)矩16 N·m，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量16.8 kg·cm2。采用每轉(zhuǎn)10 000細分的步進電動機驅(qū)動器，脈沖發(fā)生器輸出脈沖經(jīng)10倍頻后，輸出到電機驅(qū)動器，脈沖發(fā)生器脈沖轉(zhuǎn)換當量為0.1 mm/p。粘性摩擦系數(shù)一般很小，取D=0.05。

在很多數(shù)控系統(tǒng)中，如服裝業(yè)的電腦繡花機、印刷電路板打孔機等，主軸轉(zhuǎn)動一圈要求XY移框一定位移。本例設(shè)主軸轉(zhuǎn)速為n，移框時主軸轉(zhuǎn)過角度為210°(移框角為250°，定位角為100°)，則定位時間，最短定位時間Tmin對應最高允許轉(zhuǎn)速nmax，頻率基線定位時間Tb對應轉(zhuǎn)速nb。

以定位位移6 mm(S=60)為例，在特定負載(TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2)下，最高允許轉(zhuǎn)速nmax=800 r/min，對應最佳參數(shù)為f0=620 Hz，并將此參數(shù)對應曲線作為頻率基線，分析主軸轉(zhuǎn)速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調(diào)量，并描繪如圖2所示。

若取nb=450 r/min，對應最佳參數(shù)為f0=100 Hz，并將此參數(shù)對應曲線作為頻率基線，分析主軸轉(zhuǎn)速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調(diào)量，并描繪如圖3所示。從圖中可以看出，中低速段ΔS非常小，不超過0.03 mm，但n超過650 r/min后，誤差急劇增大，當n=730 r/min時，電機失步。所以取nb=450 r/min，對中低速性能明顯改善，但要犧牲最高允許轉(zhuǎn)速。

圖2 S=60，按nb=800 r/min時最大超調(diào)量分布圖

圖3 S=60，按nb=450 r/min時最大超調(diào)量分布圖

nb=800 r/min和nb=450 r/min各有千秋，取長補短，采用高低速兩條基線的方法，具體方案如下:取nL、nH兩個基準轉(zhuǎn)速下的兩條最優(yōu)升降頻曲線作為頻率基線，其中nL取中低轉(zhuǎn)速(可取0.6nmax)，nH取最高允許轉(zhuǎn)速。當前轉(zhuǎn)速n越接近這兩個基準轉(zhuǎn)速中的一個，則對應的這條基線占更大權(quán)重，也即采用加權(quán)平均法得到不同轉(zhuǎn)速下的頻率曲線。將轉(zhuǎn)速劃分為L、H兩個語言值，其隸屬度分別用符號μL、μH表示，其隸屬函數(shù)如下:

(1)當n≤nL時，μL=1，μH=0;

(2)當nL＜n＜nH時，μL

(3)當n≥nH時，μL=0，μH=1，且降速到nH運行。

在運行環(huán)境不變的情況下，取前面兩條基線作為高低速基線，即nH=800 r/min，nL=450 r/min，按加權(quán)平均法得到優(yōu)化的頻率曲線，分析主軸轉(zhuǎn)速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調(diào)量，并描繪如圖4所示。對比圖2和圖3，采用兩條曲線加權(quán)平均法，能夠充分利用兩條曲線各自的優(yōu)勢，既保證了最高允許轉(zhuǎn)速，又大大減小定位誤差，取得良好的性能。采用這種方案，只增加一倍的內(nèi)存空間，實現(xiàn)簡單，只要先分別計算出當前轉(zhuǎn)速對應兩條基線的單步延時時間，再用加權(quán)平均法得到最終的延時時間。

圖4 S=60，nH=800 r/min，nL=450 r/min時最大超調(diào)量分布圖

4 不同負載下優(yōu)化算法

在實際應用中，負載參數(shù)并不固定，升降頻曲線的設(shè)計要滿足不同負載的需要，也即適應性要強。而開環(huán)控制的缺點，就是負載適應范圍小。但針對不同負載設(shè)計不同軟件，增加了版本管理的難度，是不可行的。這就要求在設(shè)計升降頻軟件時，考慮到負載的變化，并采取相應的解決措施。

以定位位移6 mm(S=60)為例，在特定負載(TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2)下，取nH=800 r/min，nL=450 r/min，由對應最佳參數(shù)建立兩條頻率基線，并采用加權(quán)平均法得到其他轉(zhuǎn)速下的頻率曲線。若主軸轉(zhuǎn)速n=600 r/min，改變(TL、JL)±80%，仿真得給定位移曲線Sg與實際位移曲線S的波形比較圖分別如圖5、圖6所示。若主軸轉(zhuǎn)速n=800 r/min，增加TL、JL，超調(diào)較大甚至失步，減小TL、JL雖有一些超調(diào)，但在可接受范圍內(nèi)，仿真波形略。

也就是說，低速下頻率曲線對負載的適應能力強，中高速下負載減小時有一些超調(diào)，但在可接受范圍內(nèi)，而負載增大對運行效果影響較大。若取大負載為參考建立頻率基線，負載適應能力加大，但犧牲了最高允許轉(zhuǎn)速。負載增大，最高允許轉(zhuǎn)速必然要降低，否則會失步;負載減小，最高允許轉(zhuǎn)速可適當上調(diào)，減小超調(diào)。這就要求根據(jù)負載情況對不同定位位移的最高允許轉(zhuǎn)速進行修正。在實現(xiàn)時，可在人機界面開放一個負載系數(shù)，程序根據(jù)負載系數(shù)，修正不同定位位移的最高允許轉(zhuǎn)速。

以針長6 mm(S=60)為例，TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2，負載系數(shù)kL由0.25～2逐級增大，頻率曲線仍采用原兩條基線加權(quán)平均獲得，仿真不同負載下的最高允許轉(zhuǎn)速(要求ΔS＜0.1 mm)。表1給出了不同負載下的最高允許轉(zhuǎn)速nH，為了簡化修正方法，用n′H近似替代nH。

圖5 n=600 r/min，(TL、JL)-80%的仿真波形

圖6 n=600 r/min，(TL、JL)+80%的仿真波形

表1 S=60，不同負載下的最高允許轉(zhuǎn)速

取開放設(shè)置的負載系數(shù)為0.4～1.8，超過部分取邊沿值，在特定負載(kL=1)下獲得頻率基線，對應最高允許轉(zhuǎn)速為nmax，則簡化的修正公式:

必須指出的是，這里nH的修正只會影響轉(zhuǎn)速限定和權(quán)值μL、μH，頻率基線不變。且最高允許轉(zhuǎn)速還受主軸極限轉(zhuǎn)速的限制。

采用nH修正，主軸轉(zhuǎn)速n=600 r/min，改變(TL、JL)+80%，仿真結(jié)果如圖7所示。與圖6相比，大大減小了超調(diào)量，實現(xiàn)精確定位。

圖7 采用nH修正后的仿真波形′

5 結(jié) 語

本文從S形升降頻曲線方程的設(shè)計出發(fā)，提出了延時數(shù)據(jù)表在不同轉(zhuǎn)速下的應用方法。通過仿真不同轉(zhuǎn)速下運行效果，提出了有效的改進方案，即采用高低速兩條頻率基線加權(quán)平均法獲得不同轉(zhuǎn)速頻率曲線，以平衡高低速的矛盾。通過仿真不同負載下運行效果，也提出了有效的改進方案，即采用負載參數(shù)可設(shè)，并根據(jù)負載參數(shù)修正nH的方法，這種方法能有效地提高負載適應能力，避免了負載變化時的振蕩和失步現(xiàn)象，切實提高了限時定位的要求。

雖然仿真證實，不同負載可以通過參數(shù)修正達到更好的運行效果，但是對于由安裝不平衡、接觸面不平滑等原因引起的負載突變，仍然需要模擬閉環(huán)系統(tǒng)或先進的自適應控制理論來識別，有待進一步研究。

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