振動力學和波動力學的討論

胡世麗,李貴榮

(江西理工大學, 江西贛州市 341000)

振動力學和波動力學的討論

胡世麗,李貴榮

(江西理工大學, 江西贛州市 341000)

振動力學和波動力學是動力學的兩個分支,作為動力學的兩種研究方法,既有密切的聯系,也有明顯的區別,振動力學反映的是結構體的整體振動,體現了能量在結構體內部的轉換,波動力學反映的是能量的傳播。從概念、建立方程、求解方程和適用范圍多個方面闡述了兩者的區別和聯系。

振動力學;波動力學;地震波;適用范圍

振動力學研究結構的振動;波動力學研究波的傳播,可以用位移、應力或應變等物理量來描述。這里有一個重要的問題,就是質點的振動,質點的振動是振動力學研究問題的起點,波動力學建立波動方程時,是從介質內取出一個單元,這單元也經常被看成質點,因此也可以是波動力學研究問題的起點,思考復雜問題時的一個簡單模型,所以質點振動是一個特殊的振動力學問題。

1 沖擊載荷在結構體中的傳播過程

在結構體未受到擾動之前,質點之間的相互作用力處于平衡狀態,一個沖擊載荷作用于一個結構內的某一局部或某一質點時,受到沖擊載荷作用的質點就要偏離原來的平衡位置而進入運動狀態,這個質點發生振動,但沖擊載荷并不能立即引起結構體內所有質點的振動,而是振動按照介質的波速在介質內傳播,振動在介質內傳播一段時間后,就會引起很多質點的振動,直至所有質點都振動起來。很多質點的振動就形成了一個振動場,稱之為波場,質點的振動可以用位移、速度、應力、應變等物理量來描述,就形成了相應的波場,如位移波、速度波等。以位移波為例,位移波在結構體內傳播過程中,遇到結構體的邊界時會發生反射和透射,位移波在結構體內多次透射和反射就會形成一些特征頻率,特征頻率的形成主要受結構體的材料參數、結構和邊界條件的影響。

一般來說,結構體內每個質點的振動都有很多個特征頻率,各質點的特征頻率并不完全相同,如果各質點有共同的特征頻率,結構體就能形成穩定的振型(也稱為模態)。

2 數學方法

結構振動力學方程和波動方程,從根本上說兩個方程是一致的,都是慣性力等于不平衡彈性力,但是兩者方程的推導過程和求解過程存在區別。

2.1 推導方程的過程

結構振動力學方程的推導過程是,寫出結構體的總動能和總勢能,把總動能和總勢能代入拉格朗日方程就求出了振動方程[1]:

式中,M為質量矩陣;q為廣義坐標列陣;K為剛度矩陣;Q為非保守力列陣。

從方程的推導過程可以看出,振動力學把結構體看成是一個整體,因此結構體內各質點間的相互作用力就屬于內力,振動方程反映系統內部動能和勢能的相互轉換。

波動方程的推導過程是,在介質內部取出一個單元體,在波的傳播過程中,分別寫出單元體受到的不平衡彈性力和慣性力,代入牛頓第二定律方程,再代入幾何方程和本構方程,就可得到波動方程,一維縱波方程推導的結果為:

式中,u、t、E和ρ分別為位移、時間、介質的彈性模量和密度;x表示波的傳播方向。

單元體受到的不平衡彈性力是周圍單元體和該單元體的相互作用力,周圍單元對該單元的力屬于該單元的外力,因此波動方程反映的是單元體間的相互關系,能夠體現傳播特性,實際上應力波在彈性體中傳播時,不是一個動能和勢能相互轉換的過程,是一個能量傳播的過程。

2.2 求解過程

在對方程求解時數學處理也有所不同,以一維問題為例。振動力學考慮問題時主要是從振型(或模態)入手,所以振動力學解的基本形式是:

式中,u為x處的位移;ω為角頻率;φ為初相位。u(x)是振型,從解的基本形式u(x)q(ωt+φ)可以認為是振型的振動,即結構的整體振動,反映了振動力學關心的是整體。如果考慮多級振型,就采用累加的方法來處理,即:

對于一個確定的x,問題就轉化為質點振動問題,如果是考慮多級振型,就變成一個多頻率的復雜質點振動問題。振動力學不太考慮復雜結構的瞬態振動,只考慮穩態振動,因為瞬態振動沒有穩定的振型,這是振動力學本身的缺陷,如果要考慮高級振型,振動力學的解法非常困難,但實際上很多工程問題不需要考慮高級振型,低級振型的振幅大,所占能量比重大,是結構整體破壞的根本原因,因此工程問題只考慮幾個低級振型。瞬態振動是一個應力波在結構中傳播的過程,還會形成穩定的振型,如果外載荷恒定,應力波在邊界多次反射后,結構中各個質點就會形成一些共同具有的特征頻率,這就形成了振型。

波動力學考慮波的傳播過程,能把波傳播過程帶來的各種現象展現出來,所以數學處理時就要體現傳播過程,因此方程的解寫成:

式中,A0為振幅;k為波數。式(5)是波向x的正方向傳播的基本解,從解的基本形式可以看出,(kxωt)是波的相位,體現波的傳播彈性,即時間和空間距離的關系。

波動方程建立后,由邊界條件和初始條件確定傳播特性,邊界條件是波動力學問題中非常重要的。對于一個確定的x,問題也轉化為質點振動問題,因此質點的振動是聯系結構振動和波動的橋梁,是一個特殊的振動力學問題。

其實兩種數學處理過程也有一定的聯系,前者采用變量分離的形式,后者非分離變量形式。

3 適用范圍

前面的分析表明:振動力學反映的是結構體的整體振動,體現了能量在結構體內部的轉換,波動力學反映的是能量的傳播,在實際應用過程中,主要根據這個特點來選擇理論。對某個特定的動力響應過程,解的形式的選擇,要視實際問題的需要來確定。這既取決于擾動源的性質,又取決于所考慮物體的相對尺寸,同時還與研究者所關心的問題等諸因素有關[2,3]。實際應用過程中可以從以下幾個方面來考慮。

3.1 整體破壞與局部破壞

地震載荷作用下形成的地震波在山體內傳播,一般來說,地震波不會造成整個山體破壞,山體破壞就屬于局部破壞,應該選擇波動力學的方法來處理問題。地震載荷作用下,房屋的振動最主要的特點是整體運動,經常造成房屋結構的整體破壞,因此就應該選擇用振動力學的方法來解決問題。

3.2 有效振型

如果不能寫出有效振型,那就只能是波動力學問題。對于半無限體,厚大尺寸的結構體來說,由于尺寸很大,波從加載處傳播至結構體最遠邊界需要較長的時間,這就導致加載處的質點已經振動了很多個周期后才能傳播至最遠邊界,使結構體很難形成穩定的振型,要使山體形成穩定的振型需要很長的時間,地震荷載作用時間不可能達到這么長;另一方面很難形成非常突出的整體運動,整體運動相對局部運動來說,是可以忽略的,因此就很難寫出有效的振型。

3.3 受力形式

如果結構體是整體受力或結構體大部分面積受力,就應該是一個振動力學問題;如果局部受力,且能夠寫出有效的振型,也可以考慮為振動力學問題,也可以考慮為波動力學問題。比如,高層建筑物在風載荷作用的動力現象和破壞問題,這是一個結構振動力學問題,其原因是建筑物的受力面積大,建筑物的整體振動是動力現象的主要問題,風載荷引起的波動現象很微弱。

[1]劉延柱.振動力學[M].北京:高等教育出版社,1998.

[2]楊桂通.彈性動力學[M].北京:中國鐵道出版社,1988.

[3]郭學彬,肖正學,張志呈,等.層狀巖體爆破地震效應的測試[J].礦業研究與開發,2005,25(4):65-67.

2009-12-28)

胡世麗(1976-),女,講師,主要從事巖土體力學方面的教學和研究工作,Email:wgsky010@126.com。