多元函數極值求法探討

陳惠汝

（黃岡師范學院數學與信息科學學院，湖北 黃岡 438000）

多元函數極值求法探討

陳惠汝

（黃岡師范學院數學與信息科學學院，湖北 黃岡 438000）

利用方向導數、梯度及內積、二次型三種方法分別判別函數極值，通過二元函數求極值的方法介紹多元函數極值的求法.

多元函數；極值；方向導數；梯度；內積；二次型；正定矩陣

函數極值不僅是數學分析中的一個重要問題，也是我們解題中的一個難題。函數極值在應用中也普遍存在。在生產和日常生活中我們總是希望減少消耗、增加利用率，而這些實際問題都可以歸結為函數極值問題。本文給出了幾種求多元函數極值的方法。

1 利用方向導數判斷多元函數的極值

引理 1[1]設二元函數 f（x，y）在點 p0（x0，y0）的某鄰域 U（p0）內連續，在 U0（p0）內可微，?p（x，y）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（ⅰ）若 fl′（p）＞0，則 f（p）在點 p0取得極大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，則 f（p）在點 p0取得極小值。

與二元函數相類似，多元函數也可以利用方向導數來判斷極大值和極小值.現將上述引理推廣到多元函數的情況并舉例說明。

定理 1 設多元函數 f（x1，…，xn）在點 p0（x01，…，x0n）的某鄰域 U（p0）內連續，在 U0（p0）內可微，?p（x1，…，xn）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（?。┤?fl′（p）＞0，則 f（p）在點 p0取得極大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，則 f（p）在點 p0取得極小值。

推論 1 設多元函數 f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）的某鄰域 U0（p0）內連續，在 U0（p0）內可微，對?p（x1，…，xn）∈U0（p0）

（?。┤?fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＜0，則 f（x1，…，xn）在 p0取極大值；

（ⅱ）若 fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＞0，則 f（x1，…，xn）在 p0取極小值。

例 1 討論三元函數 u=f（x，y，z） =x2+y2+z2+2x+4y-6z的極值。

解 先求三個一階偏導數，令它們為0。解方程組得穩定點，再利用定理的推論確定極值。

ux=2x+2=0， uy=2y+4=0，uz=2z-6=0求得穩定點為（－1，－2，3）.

∵（x+1）（2x+2）+（y+2）（2y+4）+（z-3）（2z-6）=2（x+1）2+2（y+2）2+2（z-3）2＞0

由推論知 u=f（x，y，z）=x2+y2+z2+2x+4y-6z在點（－1，－2，3）處取得極小值。

2 利用梯度及內積計算多元函數的極值

引理 2[2]設 f（x）在點 x0連續，在 U0（x0，δ）內可微，

（?。┤?x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＜0，則 f（x）在 x0點取得極大值；

（ⅱ）若 x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＞0，則 f（x）在 x0點取得極小值。

對于有些多元函數我們也可以利用梯度及內積的方法求極值。由上述引理可推廣到多元函數的情況，文[2-4]都進行了討論有如下定理。

定理 2 設多元函數 f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）點連續，在 U0（p0）內可微，

（ⅰ）若?p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＜0，則 f（x1，…，xn）在 p0點取得極大值；

（ⅱ）若?p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＞0，則 f（x1，…，xn）在 p0點取得極小值。

由于極值只可能在穩定點或偏導數至少有一個不存在的點處取得，因此，定理2可對這樣的兩類點使用。

例 2 求 f（x，y，z）=x2+y2+z2－3xy＋2x 的極值

3 利用二次型求多元函數的極值

定義 3[5]設函數 y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）點有連續的二階偏導數，稱矩陣

為函數 y=f（x1，…，xn）在 x0點的海色矩陣。

引理 3 設函數 y=f（x1，x2，x3）在點 p0的某個鄰域內有連續的一階及二階偏導數，并且 gradf（p0）＝0，則

（?。┤艟仃?Hf（p0）是正定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處取得極小值；

（ⅱ）若矩陣 Hf（p0）是負定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處取得極大值；

（ⅲ）若矩陣 Hf（p0）是不定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處不取極值。

定理 3[4,5]設 n 元函數 y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）的某個鄰域內有連續的二階偏導數，且 gradf（x0）＝0，則

（?。┤?Hf（x0）是正定矩陣時 ，則 x0為 f（x）的極小值點；

（ⅱ）若 Hf（x0）是負定矩陣時，則 x0為 f（x）的極大值點；

（ⅲ）若矩陣 Hf（p0）是不定矩陣時，則 f（x）在 x0處不取極值。

例 3 求函數 f（x，y） =x3+y3+3x2y-3y2-9y 的極值

解 f在R2二階連續且可微，先求穩定點。

在點（0，3）， Hf為正定矩陣，所以 f在（0，3）處有極小值 f（0，3）=-27.

在點（0，－1），Hf為負定矩陣，所以 f在（0，－1）處有極大值 f（0，－1）=5.

若函數 f（x1，…，xn）在有界閉域 D 連續且可微，則 f（x1，…，xn）在 D 上必達到最大值或最小值。設f（p0）=M（或 m），若 p0是 D 的內點，則 p0是 f（x1，…，xn）的極值點，但可能發生 p0∈?D.因此，為了找出f（x1，…，xn） 在 D 的最大最小值，必須找出 f（x1，…，xn） 在 D 的極值點，再與邊界 ?D 的函數值比較，才能找出函數在D上的最大最小值；而實際問題的最大最小值，可根據問題的實際意義來判斷。

[1]余興民.利用方向導數判別函數極值[J].商洛師范?？茖W校學報，2002，16（4）：20-21.

[2]趙亞明，楊玉敏.多元函數極值的一種新方法[J].鞍山師范學院學報，2003，5（4）：7-9.

[3]蔡生.多元函數極值的一個判別法[J].遼寧教育學院學報，1997，14（5）：11-13..

[4]趙俊.多元函數極值的判別方法探討[J].現代商貿工業，2009，13：194-195.

[5]凌征球.二次型在求多元函數極值上的應用[J].廣西民族學院學報（自然科學版），2002，8（2）.

[6]程國，劉亞亞.求多元函數極值的二次型方法[J].河西學院學報，2008，24（5）：20-23.

THE DISCRIMINANCES AND APPLICATIONS OF THE INFINITESIMAL AND INFINITELY SEQUENCE OF NUMBER

CHEN Hui-ru
（College of mathematics and information science,Huanggang Normal University，Huanggang Hubei 438000）

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Several； Extreme value； Directional derivative； Gradien； Inner product； Qvariables uadratic form； Positive definite matrix.

O172.1

A

1672－2868（2010）06－0116－03

2010－09-23

陳惠汝（1978-），女，湖北英山人。黃岡師范學院數學與信息科學學院講師，研究方向：基礎數學教學與研究。

責任編輯：陳 鳳