基于條件方程的方差分量估計(jì)公式

梁 霄

(同濟(jì)大學(xué) 測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092)

基于條件方程的方差分量估計(jì)公式

梁 霄

(同濟(jì)大學(xué) 測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092)

著名的 Helmert方差分量估計(jì)公式是基于間接觀測(cè)平差模型導(dǎo)出的。基于條件觀測(cè)平差模型導(dǎo)出了方差分量估計(jì)公式并給出了實(shí)際應(yīng)用范例,且對(duì)兩種模型的方差分量估計(jì)公式的等價(jià)性進(jìn)行了理論證明。算例表明,文中的估計(jì)公式能正確地估計(jì)出各類(lèi)觀測(cè)值的方差因子。

方差分量估計(jì);條件方程;Helmert公式

Helmert在1907年導(dǎo)出了著名的方差分量估計(jì)公式,100多年來(lái)廣泛用于不同類(lèi)型觀測(cè)值的精度估計(jì),1979年Forstner對(duì)這一公式進(jìn)行了簡(jiǎn)化。其它類(lèi)型的方差分量估計(jì)公式,如M IN IQUE公式[1](Rao,1971)和B IQUE公式[2](Koch,1980),在觀測(cè)值獨(dú)立時(shí),與 Helmert公式都是等價(jià)的。

由于Helmert公式是基于間接觀測(cè)平差模型導(dǎo)出的,公式中需求逆運(yùn)算的矩陣與未知參數(shù)數(shù)目相同,如果觀測(cè)方程的參數(shù)比較多,勢(shì)必影響計(jì)算效率。當(dāng)條件方程數(shù)目少于未知參數(shù)時(shí),如果使用基于條件方程的方差分量估計(jì)公式,有望提高解算效率。更加重要的是,條件平差是一種重要的平差模型,給出基于這一模型的方差分量估計(jì)公式在理論和實(shí)際上的應(yīng)用是必要的。

1 基于條件平差的方差分量估計(jì)

1.1 方差分量估計(jì)公式

式中:A為r×n階系數(shù)矩陣,y為 n×1階觀測(cè)向量,w為r×1階閉合差向量。若將觀測(cè)值表示成

式中:ˉy為觀測(cè)值真值,ε為觀測(cè)誤差。則有

因此,誤差方程通常表示為

其中,v為觀測(cè)值的改正數(shù)。

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則

其中,Q為觀測(cè)值的先驗(yàn)權(quán)逆陣。可得到,方程(1)的解為

其中,N=AQAT。

將式(3)代入式(6)得

1.2 精度評(píng)定

1.3 基于條件方程與基于間接方程的方差分量估計(jì)的等價(jià)性證明可得,G陣與 F陣等價(jià)。同時(shí),可看出,p陣和q陣完全相同。所以可得出結(jié)論,基于條件觀測(cè)平差模型導(dǎo)出的方差分量估計(jì)公式與基于間接觀測(cè)平差模型的方差分量估計(jì)公式是完全等價(jià)的。

2 算例分析

有邊角網(wǎng)如圖1所示,A、B、C為已知點(diǎn),P1、P2為待定點(diǎn),網(wǎng)中觀測(cè)了12個(gè)角度和6個(gè)邊長(zhǎng),起算數(shù)據(jù)和觀測(cè)值見(jiàn)參考文獻(xiàn)[8]第82頁(yè)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),測(cè)角中誤差為 ±1.5″,邊長(zhǎng)測(cè)量中誤差±2.0 cm,現(xiàn)對(duì)其按條件平差和間接平差分別進(jìn)行方差分量估計(jì),比較平差結(jié)果的差異。計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示。

圖1 邊角網(wǎng)

表1 基于條件平差的方差分量估計(jì)結(jié)果

表2 基于間接平差的方差分量估計(jì)結(jié)果

基于條件平差算出的單位權(quán)中誤差的估值為±1.88″,方差分量估計(jì)的精度分別為var(σ^20β)=2.91″4和var(σ^20s)=8.24″4;基于間接平差算出的單位權(quán)中誤差的估值為±1.88″,方差分量估計(jì)的精度分別為var(σ^20β)=2.92″4和var(σ^20β)=8.22″4。對(duì)比表1和表2對(duì)應(yīng)位置的數(shù)據(jù),忽略計(jì)算誤差,以上的計(jì)算結(jié)果都與間接平差模型的方差分量估計(jì)的結(jié)果一致,由此可見(jiàn),基于條件觀測(cè)平差模型導(dǎo)出的方差分量估計(jì)公式是正確的,并與基于間接觀測(cè)平差模型的方差分量估計(jì)公式是等價(jià)的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文從條件平差的基本理論出發(fā),詳盡地導(dǎo)出了不同于間接平差模型的方差分量估計(jì)公式,擴(kuò)展了 Helmert方差分量估計(jì)的應(yīng)用范圍,證明了兩種模型的方差分量估計(jì)公式的等價(jià)性,具有較好的應(yīng)用前景,尤其是在條件數(shù)少于未知數(shù)的情況下,使用基于條件平差的方差分量估計(jì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明本文方法與間接平差的 Helmert方差分量估計(jì)公式完全等價(jià)。

[1]RAO.C.R.Linear Statistical Inference and Its App lications[D].New York Wiley,1973.

[2]KOCH.K.R.Parametersch(a)tung Und Hypotherentests in Linearen Modellen[D].Dümm ler,1980.

[3]於宗儔,于正林.測(cè)量平差原理[M].武漢:武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社,1990.

[4]陶本藻.測(cè)量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[M].北京:測(cè)繪出版社,1992.

[5]黨涌詩(shī).矩陣論及其在測(cè)繪中的應(yīng)用[M].北京:測(cè)繪出版社,1980.

[6]于正林,陳惠明.方差分量估計(jì)中的精度評(píng)定[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),1989,18(3):219-226.

[7]李博峰,沈云中,樓立志.基于等效殘差的方差協(xié)方差分量估計(jì)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2010,39(4):349-354.

[8]崔希璋,於宗儔,陶本藻,等.廣義測(cè)量平差[M].武漢:武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社,2001.

The variance component estimation formula based on conditional equation

L IANG Xiao
(Department of Surveying and Geo-informatics Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China)

The famous Helmert formula of variance component estimation was derived based on indirect observational equation.Thispaper derives the variance component estimation formula based on conditional equation and show s the p ractical app lications,p roves the equivalence between the two variance component estimation fo rm ulas based on indirect observational and conditional equations.The numerical case show s that our fo rmula can co rrectly estimate the variance components of different kind of observables.

variance component estimation;conditional equation;Helmert fo rm ula

P207

A

1006-7949(2010)06-0028-03

2010-05-07

梁 霄(1984-),女,碩士研究生.

[責(zé)任編輯張德福]