似大地水準面擬合中已知點的選擇

周志富,楊 莉

(山西大同大學 工學院,山西 大同 037003)

似大地水準面擬合中已知點的選擇

周志富,楊 莉

(山西大同大學 工學院,山西 大同 037003)

似大地水準面的擬合是測繪中的一個熱點問題,其中已知點的選擇對似大地水準面擬合結果有顯著影響。文中探討似大地水準面擬合中已知點的選擇問題,分析比較傳統手工方法、全組合法與逐點剔除法選擇已知點,并用實際算例驗證逐點剔除法的優點,所得結論對實際工程應用具有一定的參考價值。

似大地水準面擬合;逐點剔除法;符合精度;已知點的選擇

似大地水準面作為我國的高程基準面,在測繪工作中起著重要作用。以似大地水準面為媒介,大地高能夠轉換為正常高,GPS技術可以準實時測定正常高,實現 GPS技術的三維定位功能。使得平面控制網和高程控制網分離的傳統大地測量模式成為歷史,為測量手段帶來新的革命。因此,研究似大地水準面的擬合,具有一定的科學價值和現實意義。

似大地水準面擬合問題是一個不確定模型問題,文獻[1]研究了顧及模型誤差的不確定模型的應用問題,這樣就把模型確定化。對于一個給定的區域,當已經確定了擬合模型后,另一個需要研究的重要問題就是已知點的選取,包括確定已知點的數目和分布等。這是實際工程應用中一個很重要的問題。

1 似大地水準面擬合的精度評定

似大地水準面擬合就是應用 GPS水準法擬合出測區的高程異常ξ與點的平面位置(X,Y)的一個函數關系ξ=f(X,Y),從而得到測區的一個似大地水準面模型,利用這個模型就可以求出其他點的高程異常值,再根據公式 Hr=H-ξ即可求出該點的正常高 Hr[2]。

為了能客觀地評定似大地水準面擬合計算的精度,在布設水準重合點時,應適當多聯測幾個 GPS點,以做外部檢核使用。根據點在擬合模型中的性質不同,精度評定可分為內符合精度和外符合精度。

1.1 內符合精度[3-5]

根據參與擬合計算的已知點的高程異常值ξi和擬合后內插得到的該點高程異常值ξ′i,求出擬合

1.2 外符合精度[3-5]

根據檢核點的高程異常值ξi和擬合后內插得到的高程異常值ξ′i,求出檢核點高程異常擬合殘差

此時的n為外部檢核點的個數。

內符合精度非常不可靠,當所選部分點恰好位于所選模型附近時將會得到很高的內符合精度,但這并不代表未知點具有同樣的擬合精度[5]。而外符合精度可以較客觀地反映未知點的擬合精度,因此,有些學者將其稱為預報殘差,用來大致代替整個測區GPS水準擬合計算的精度。

2 已知點的選擇方法

已知點的選擇對似大地水準面擬合結果有著顯著影響,無論是其精度、數量,還是已知點的位置,都會影響似大地水準面的精度。其中已知點的分布對其影響最大[6]。

當已知點均勻分布于整個測區時,其點數越多,似大地水準面的精度越高。但當已知點數達到一定數量時,再增加已知點數,不能顯著地提高其精度。似大地水準面精度在很大程度上取決于已知點的分布狀況。當已知點均勻分布于整個測區時,待定點精度最高;若已知點雖然覆蓋整個測區,但未均勻分布時,待定點精度只與4個已知點均勻分布于整個測區時相當;當已知點均勻分布于中間的半個測區時,待定點精度只與3個已知點均勻分布于整個測區時相當;當已知點均勻分布于一端的半個測區時,待定點精度最差,其擬合中誤差將成倍地增加[6]。

因此,擬合似大地水準面時一定要使已知點均勻分布于整個測區,并具有一定的代表性,寧可已知點數少,也不能因湊數而使已知點分布不均勻,更不能使已知點全部分布在測區的一端。這是憑經驗選取均勻已知點的傳統手工方法應遵循的原則。下面介紹兩種應用數學方法選取擬合似大地水準面已知點的方法:其一是全組合法;其二是逐點剔除法[7-9]。

在 n個水準重合點中選取m(m≤n)個點參與擬合計算有 Cmn種方案,理論上將每種方案的擬合誤差平方和都算出來,精度最高的即為最優方案。這就是全組合法,該方法計算量太大,在實際中往往是不可能實現的。

逐點剔除法是由沈云中教授提出的,是與全組合法相對而言的。從 n個水準重合點中剔除一點,共有n種剔除方案,若其中某種方案求得的擬合結果精度最高,則采用該方案,剔除該方案所剔除的點,使得總點數降為 n-1。依此類推,直到剩下 m個點,即為最優的m個水準重合點。該算法總共需要計算n+(n-1)+…+(m+1)種方案。

3 算例分析

本試驗采用某市區的 GPS水準數據,全區共布設了38個 GPS水準重合點,從圖1可以看出點位的分布。若選取其中6個進行二次曲面擬合,則全組合法的方案數為1.987 69×109,超出了普通計算機的能力;若采用逐點剔除法,計算量為38+37+…+7=720,即使普通的計算機也能勝任。文獻[9]中通過具體算例證明了逐點剔除法與全組合法得到的水準重合點是一致的,并且能獲得最小的擬合誤差。所以本試驗采用逐點剔除法來選取似大地水準面擬合的已知點與傳統手工方法進行對比。

圖1 水準重合點點位圖

表1 不同點數的最佳擬合方案的精度結果

表2 26點擬合方案的殘差統計表

表3給出了逐點剔除法選點與傳統手工選點結果的精度對比。從表3中可以看出,傳統手工方法中選取均勻的已知點并非最佳分布,且已知點只能憑經驗而定;而逐點剔除法可以很好地同時確定已知點數及其分布。

表3 逐點剔除法選點與傳統手工選點的擬合精度結果

綜上所述,本次似大地水準面擬合中選取逐點剔除法得到的26個水準重合點作為已知點,其余12個點作為檢核點。

4 結束語

從理論分析及實例計算可以看出,與傳統手工方法相比,逐點剔除法可以很好地同時確定已知點數及其分布,且擬合精度較高。該方法在似大地水準面擬合中已知點數及其分布的確定中是一種行之有效的辦法,可以改變傳統上憑經驗選取已知點的盲目性,具有很好的實際參考價值。

[1]趙超英,張勤,閆麗.顧及粗差的最佳曲面迭代擬合方法探討[J].工程勘察,2005(3):50-65.

[2]覃鋒.GPS高程應用的關鍵在于精化大地水準面[J].測繪與空間地理信息,2006,29(1):40-43.

[3]匡翠林.高精度 GPS水準算法研究及其應用[D].長沙:中南大學,2004.

[4]劉誼,汪民主,汪金花.GPS高程二次曲面擬合及其程序[J].礦山測量,2004(2):12-14.

[5]劉長建,吳洪舉,張俊.GPS水準擬合方法的比較與軟件編制[J].信息工程大學學報,2006,7(1):85-88.

[6]沈學標.GPS水準高程擬合精度的分析[J].測繪通報,1998(7):21-22.

[7]王正明,王寶智.異常觀測數據的逐點剔除法[J].數學的實踐與認識,1997,27(3):266-274.

[8]趙超英,劉雷.GPS水準擬合優化法探討[J].工程勘察,2006(2):64-67.

[9]沈云中,高達凱,張興福.GPS水準點優化選擇法[J].工程勘察,2004(6):49-51.

Selection of known points in refinement of quasigeoid

ZHOU Zhi-fu,YANG Li
(Engineering School,Shanxi Datong University,Datong 037003,China)

Refinement of quasigeoid is a hot question in surveying and mapping.And the selection of know n points has significant influence on the result of refinement of quasigeoid.So the selection of know n points is studied.The traditional manual method,combination of france method and one-by-one elimination method w ere analyzed and compared.Then it verified the strong points of one-by-one elimination method in p ractical examp le.The conclusion has some reference value fo r p ractical engineering app lication.

refinement of quasigeoid;one-by-one elimination method;consistent accuracy;selection of know n points

P228

A

1006-7949(2010)06-0017-03

2010-02-04

周志富(1980-),男,助教,碩士研究生.

[責任編輯劉文霞]