矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)判定方法

賈正華

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)判定方法

賈正華

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

在本文中將給出矩陣對(duì)角化的幾個(gè)判定方法。

矩陣可對(duì)角化特征根；特征向量最小多項(xiàng)式

矩陣可對(duì)角化即矩陣與對(duì)角矩陣相似是矩陣論中一個(gè)重要的概念是簡化矩陣運(yùn)算和運(yùn)用的一個(gè)重要理論。幾年來，本人給本科生上考研高等代數(shù)輔導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)對(duì)角化的問題一直困擾著大部分人，為此我將這個(gè)問題歸納如下。以饗讀者。

命題：A為復(fù)數(shù)域上一個(gè)n階方陣，則下列條件等價(jià)。

（1）A 可對(duì)角化，即存在可逆 n 階復(fù)方陣 P 使得 P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）.

（2）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

（3）Cn可分解成A的所有的特征子空間的直和。

（4）A的初等因子都是一次的。

（5）A的最小多項(xiàng)式無重根。

（6）對(duì) A 的每一個(gè)特征根均有秩（λE-A）=秩（λE-A）2.

（7）對(duì)A的任一特征根 均有秩（λE-A）=n-k，其中k為λ的重?cái)?shù)。

下面來證明命題的正確性。

1.（1）?（2）見[1]

2.為證（1）?（3）

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社（第三版），2003.

[2]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社（第四版），1997.

[3]張遠(yuǎn)達(dá).線性代數(shù)原理[M].上海：上海教育出版社，1979.

[4]賈正華.伴隨矩陣的一些性質(zhì)[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，（3）.

[5]賈正華.廣義逆矩陣及性質(zhì)[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（3）.

[6]錢吉林，劉丁酉.高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.

SOME METHODS ON CHANGING A MATRIX INTO DIAGONAL MATRIX

JIA Zheng-hua
（Department of Mathematics，Chaohu Collge， Chaohu Anhui 238000）

In this paper we will give some methods on changing a matrix into diagonal matrix.

changing matrix into diagonal matrix； characteristic root； characteristic vector； minimum polynomial

O151.21

A

1672－2868（2010）06－0006－05

2010－09－05

賈正華（1963－），男，含山縣人。巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授。研究方向：矩陣論。

責(zé)任編輯：陳 侃