二階非線性脈沖泛函微分方程正解的存在性

汪會民 蔣 威

（安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039）

二階非線性脈沖泛函微分方程正解的存在性

汪會民 蔣 威

（安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039）

利用錐上的不動點定理研究了Banach空間中的一類二階非線性奇異脈沖微分方程的邊值問題，得到了正解存在的充分條件，并推廣已有文獻的一些結果。

脈沖方程；正解；時滯；錐

1 引言

脈沖微分方程描述了在某一時刻突然改變其狀態的過程。這樣的現象在現實中很常見，尤其在工程，物理中。近些年，脈沖微分方程已經成為非常重要的研究領域。

其中，邊值問題：

已經有許多文獻研究它了。然而，關于二階脈沖時滯微分方程正解的存在性還沒有相關的文獻。在這篇文章中，我們運用錐上的不動點定理來研究正解的存在性。

本文，我們考慮下例二階脈沖時滯微分方程邊值問題正解的存在性

并且滿足以下條件：

這里 tk是一些固定點，并且滿足 0＜t1＜t2＜t3＜…＜tk＜…＜tm＜1，u′（t-k），u′（t+k）分別代表 u′（t）在 t=tk的左右極限。λ是一個正實數。

2 準備工作

由引理（2.1）及推論（2.2）可得：

必要性的證明就是充分性的逆過程，在這里不再贅述了。

我們定義一個錐

定義一個算子T:P→P

2

所以Tu∈P。根據Arzela-Ascoli定理，T:P→P是全連續算子。

引理2.5 E是一個Banach空間，K?E是一個錐。假設Ω1，Ω2是E中的開緊集且?Ω2，T:K∩Ω1）→K 是全連續算子，使得：

這里a是0+或+∞。

3 主要結果

定理 3.1 假設（A1）-（A3）成立，且滿足

時，邊值問題（1.1）至少存在一個正解。

證明：由T是一個全連續算子如（2.4）式所定義。

定理 3.2 假設（A1）-（A3）成立，且滿足

邊值問題（1.1）至少存在一個正解。

定理 3.3 假設（A1）-（A3）成立，且滿足定理 3.4 假設（A1）-（A3）成立，且滿足

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EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS FOR SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

WANG Hui-minJIANG Wei
（Department of Mathematics,Anhui University,HefeiAnhui 230039）

We study second order nonlinear singular impulsive boundary value problem using the cone on the fixed point theorem in Banach.And obtained sufficient conditions for existence of positive solutions,and promote some of the results of the literature

Impulse equation；Positheive solution；Delay；Cone

O175.1

A

1672－2868（2010）06－0001－05

2010－08-15

國家自然科學基金項目（10771001），教育部博士學科專項科研基金項目（20093401110001），安徽省自然科學研究重大項目（KJ2010ZD02）資助.

汪會民（1986-），男，安慶人。安徽大學在讀研究生。研究方向：泛函微分方程。

責任編輯：陳 侃