用一題多解提高學生的分析能力＊

嚴 彬

(仰恩大學數學系,福建 泉州 650093)

用一題多解提高學生的分析能力＊

嚴 彬

(仰恩大學數學系,福建 泉州 650093)

一題多解在極限的計算過程中的作用為:加深學生對基本概念、定理的理解和掌握,開拓學生的解題思路,打破思維定勢,提高學生分析能力.

極限;洛必達法則;一題多解

極限是高等數學的基礎概念,是其他概念定義的基石,如何求極限是極限教學中的重點,對于函數求極限的方法有多種,學生往往較難掌握.在教學過程中應該針對一些典型例題講深講透.通過一題多解的例子,不僅做到開闊了學生的解題思路,訓練了學生多向思維的能力,還增加了學生學習的趣味性.

請看下面的例題:

例 1求極限

解法二:利用等價無窮小量代換

∵當 x→0時,ex-1等價于 x.

∴ex-tanx-1等價于 x-tanx(x-tanx→0).

解法三:利用拉格朗日中值定理[2]

設 f(x)=ex,則由拉格朗日中值定理有:?ξ∈ (x,tanx),使得

比較可知,解法一比較繁瑣,解法二學生比較容易想到且做法較為簡單,解法三比較巧妙但學生一般難于想到.

例 2求極限

解法一:先求和,再運用洛必達法則:

解法二:利用定積分定義,只要所求極限為和式結構:某段區間上 n等分的小區間上任意一點的函數值與小區間長度的乘積之和,可轉化為定積分求解.

顯然第一種解法很簡便,而通過第二種解法,對定積分概念有了更深刻的理解,讓學生通過知識之間的內在聯系達到觸類旁通,提高學生分析問題和解決問題的能力.

一個習題用多種方法解決,使學生盡可能周全地從各個方面來考慮和思考同一個問題.課本對計算極限提供了多種計算方法,例如:利用極限定義;極限的一些基本性質;函數極限與數列極限的關系;利用等價無窮小量代換;極限的運算法則;極限的復合運算法則;函數的連續性;夾逼準則;導數定義;洛必達法則;利用拉格朗日中值定理;一些已知極限等等.一題多解的可能性來源于能直接或間接的利用上述多種工具的條件.

當然不是每道題都有多種解法,一題多解是手段不是目的.應注意到有些題目不滿足應用上述某種工具的條件,如:

例3

錯解:直接利用等價無窮小量代換

正確解法:

不能用等價無窮小量代換的原因是:等價無窮小量代換只能用于乘除運算,對加、減項的無窮小量不能隨意代換.

例4

錯解:符合洛必達法則的應用條件

仍是不等式,再應用洛必達法則則又恢復到原來的比式,無法得到最終結果.

正確解法:無窮小因子分出法

學生學完洛必達法則后往往認為符合條件的求極限問題都能用洛必達法則求解,通過這道例題,可以打破固定的思維模式,有助于學生加強對洛必達法則的理解和掌握,提高應用能力.

求極限時往往要將高等數學中的一些概念和各種求極限的方法融合在內,而通過一題多解的例子,讓學生在學習并應用方法求極限的同時,又將以前所學的知識進行回顧,并讓學生能熟記重要公式.在解題時應注重培養學生“一題多解”的思維方式,開拓學生的解題思路,打破固定的思維模式,探索解題技巧,訓練解題的靈活性,增強解題能力.讓學生能夠主動去想以及敢想,還要增加他們學習的興趣,增加他們理解并掌握方法的信心.

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]華東師范大學數學系.數學分析 (第 2版)[M].北京:高等教育出版社,1991.

O13

A

1008-4681(2010)02-0103-02

2010-02-24;

2010-03-05

嚴彬 (1983-),女,福建莆田人,仰恩大學數學系助教,碩士.研究方向:動力系統 -分支與混沌.

(責任編校:簡子)