二維泊松方程的交替方向迭代法

劉相國，謝如龍，郝江鋒

（巢湖學院數(shù)學系，安徽巢湖 238000）

二維泊松方程的交替方向迭代法

劉相國，謝如龍，郝江鋒

（巢湖學院數(shù)學系，安徽巢湖 238000）

利用交替方向迭代法求解二維泊松方程邊值問題，得到了相應的誤差分析，并進行了數(shù)值模擬，模擬結果表明該方法是可行的、有效的。

泊松方程；交替方向迭代法；誤差

0 引言

在許多學科領域（如：物理學、力學、熱傳導學、聲學、電磁學）和工程技術中，很多問題可以用微分方程描述。微分方程是描述與刻畫物理過程、系統(tǒng)狀態(tài)、社會與生物現(xiàn)象的有力工具，是數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要途徑之一。要想“探求自然界的奧秘在于解微分方程”（牛頓）。這種由“原因”推得“結果”的探索過程無疑在人類認識自然與改造自然中起到了重要的作用。微分方程的數(shù)值解〔1-3〕是解決上述問題的有力工具。本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程邊值問題〔4-5〕，并進行了誤差性分析〔6-8〕，進行了相應的數(shù)值模擬，取得了較滿意的數(shù)值試驗結果。

1 數(shù)學模型

考慮以下的邊值問題：

在區(qū)域Ω上，取沿x軸與y軸方向的步長分別為h1和h2，記h＝max（h1，h2），并有xi＝ih1，yj＝jh2，（i，j＝0，1，2…）。

設xi，j為內網(wǎng)點，對充分光滑的函數(shù)u，沿x軸方向由T aylor展式

這里［］i，j表示括號內的函數(shù)在xi，j處取值。類似

同樣有：

（3）式與（2）式相減，并除以h1，則得

同理

2 交替方向迭代法

引進矩陣L1，L2：對向量u＝｛ui，｝j，定義〔9-10〕

即可將（6）寫成

有交替方向PR迭代

按層合并，得

3 誤差分析

差分解u＝｛ui，j｝滿足（7）和（8）。因此迭代誤差e（k）＝u－u（k）滿足下方程〔11-12〕

假定τk＞0，則左端矩陣有逆。消去過渡層，得遞推式：

因為L1，L2的乘積可換序知，Tk是對稱矩陣，其特征值λlm（k），這樣可得

4 數(shù)值算例

為了檢驗上述方法的有效性，利用上述算法編制程序進行數(shù)值模擬。

考慮P oisson方程第一邊值問題

其中f（x，y）=2π2sin（πx）sin（πy），u（x，y）=sin（πx）sin（πy）

算例1：用PCG法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖圖，見圖1。

圖1 PCG法求解誤差解剖圖

當n＝10時，最大誤差：0.107 7 運行時間T：0.388 2（s）

當n＝12時，最大誤差：0.070 2 運行時間T：0.498 0（s）

算例2：用交替方向迭代法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖分圖如下

圖2 交替方向迭代法求解誤差解剖圖

當n＝10時，最大誤差：0.030 4 運行時間T：7.079 9（s）

當n＝12時，最大誤差：0.023 2 運行時間T：8.433 6（s）

算例3：用CG法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖圖，見圖3。

圖3 CG法求解誤差解剖圖

當n＝10時，最大誤差：1.571 2 運行時間T：0.123 0（s）

當n＝12時，最大誤差：1.802 3 運行時間T：0.178 7（s）

5 結論

本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程邊值問題，并建立了相應的誤差估計。通過數(shù)值模擬可以看出，PCG法，CG法，交替方向迭代法求解此類問題都具有效性和可行性。但交替方向迭代法比PCG法，CG法，數(shù)值試驗結果更好，更有效。

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On Alternating Direction Iteration M ethod of Two-dimensional Poisson Equation

LIU Xiangguo，XIE Rulong，HAO Jiangfeng
（DepartmentofMathematics,Chaohu Collge,Chaohu Anhui，238000）

In this paper,through the use of the alternating direction iteration method,two-dimensional Poisson equation with boundary conditions is resolved；the corresponding error estimation can be obtained.And then the numerical solution simulation is carried out.The numerical results show that thismethod is feasible and efficient.

Poisson equation;alternating direction iterationmethod;error

O241.82

A

1672-2345（2010）10-0001-05

巢湖學院科研基金資助項目（XLY-201006）

2010-08-24

劉相國，講師，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究.

（責任編輯 董 杰）