一類二階變系數線性微分方程的算子解法

方書盛

（汕頭市達濠第二中學，廣東汕頭515071）

一類二階變系數線性微分方程的算子解法

方書盛

（汕頭市達濠第二中學，廣東汕頭515071）

運用微分算子的理論和方法研究了二階變系數線性微分方程的解法；在一定的條件下利用算子解法求出一類二階變系數線性微分方程的通解；應用所得結果推導出已知類型方程可用算子解法求出通解的一些可積類型；舉例說明使用算子解法求出已知類型方程通解的步驟和方法.

二階；變系數；算子解法；可積類型

0 引言

二階變系數線性微分方程在自然科學與工程技術中有著廣泛的應用[1].因此，研究二階變系數線性微分方程的求解方法，具有重要的應用價值和理論意義.

由于一個二階變系數線性微分方程的可積與對應的一個Riccati方程的可積是等價的（參見本文引理1及引理2），然而Riccati方程在一般情況下是不可積的[1-2]，因此，二階變系數線性微分方程在一般情形下是不可積的，即在一般情形下，方程的解不可能用有限形式的初等積分來表示.但某些特殊形式的變系數線性方程還是可積的，例如著名的Euler方程.為了適應理論研究和工程應用的需要，近30年來，人們用不同的方法不斷探索二階變系數線性方程的各種特殊的可積類型，至今已取得了一系列成果[3-10].本文作者在文獻［3］中給出了任意階的變系數線性方程的算子解法，這種解法是求出某些特殊形式的變系數線性方程的一種簡便實用的方法.本文運用文獻［3］的結果，研究了一類重要的二階變系數線性方程的解法，得到了已知類型方程的一些可積類型.

1 預備知識

文獻[3-4]中已給出了二階線性微分算子的分解及二階變系數線性微分方程算子解法的一些結果，下面引用其中的一些結果.

引理1[3]二階變系數線性微分方程

可積的充分必要條件是，已知方程左端微分算子可分解為兩個有限形式的一階微分算子因式的乘積：

引理2[4]二階變系數線性微分算子

可分解成有限形式分解式（1）的充分必要條件是Riccati方程

是可積的，這時b（x）=y（x），a（x）=p（x）-y（x）.

定義1[3]一個已知函數f（x）除以一階微分算子D+p（x）所得結果為：

其中c表示任意一個常數.

2 主要結果

考慮如下形式的二階變系數線性齊次方程：

以下先證明本文主要結果的一個定理.

定理1如果多項式p（x）及q（x）滿足條件：

其中a（x），b（x）分別是x的特定函數，那么方程（4）是可積的，其通解是：

其中c1，c2分別是任意的常數.

證明對于不等于零的x值，方程（4）的兩邊同時除以x2并且用算子形式表示為：

當p（x）及q（x）滿足已知條件時，由式（5）得到：

將所得式子代入式（6）得到：

于是Riccati方程（2）是可積的，由引理2可知，方程（4）變形后所得方程（7）的左端微分算子可分解為有限形式的因式的乘積，由式（1）得到：

因此，方程（7）可表示為：

利用定義1 ，所得方程兩邊同除以一階微分算子D+a（x），由式（3）得到：

再次利用定義1 ，所得方程兩邊同除以一階微分算子D+b（x），由式（3）得到已知方程（4）的通解：

定理1證畢.

作為定理1的推論，可得到以下一些結果.

推論1[11]如果已知多項式p（x）及q（x）滿足條件：

那么方程（4）是可積的，其通解是：

證明取函數a（x），b（x）分別為a（x）=0，b（x）=則有：

于是定理1的條件滿足，從而由定理的結論可得，方程（4）是可積的，其通解是：

推論1證畢.

推論2[11]如果已知多項式p（x）及q（x）滿足條件

其中k為不等于零的常數，那么方程（4）是可積的，其通解為：

證明取函數a（x），b（x）分別為：

則有：

從而定理1的條件滿足，所以由定理的結論可得，已知方程（4）是可積的，其通解為：

推論2證畢.

3 實例

例1用算子解法求出以下微分方程的通解：

解已知方程對應于方程（4）的函數p（x）及q（x）分別是：p（x）=－1，q（x）=-3，取則有；

這時滿足定理1的條件，所以由定理的結論可得，已知方程是可積的，其通解為：

例2用算子解法求出以下微分方程的通解：

解已知方程對應于方程（4）的函數p（x）及q（x）分別是：

所以可得：

這時滿足推論1的條件，所以由推論1的結論可知，已知方程是可積的，其通解為：

4 結語

本文給出的算子解法不僅可用于求解特殊形式的一類二階變系數線性方程，同時也適用于求解一般形式的二階變系數線性方程，對于在科學技術中常遇到的二階變系數線性方程求解有很大的幫助.另外，必須說明的是，本文所得到的已知類型方程的可積類型，只是這類方程的幾種較重要的可積類型，不可能包括各種不同的可積類型.在實際應用中，用同樣的方法可推導出其它更多的可積類型，限于篇幅，這里不再一一列出.

[1] 李文榮，張全信.函數方程與微分方程的解析解[M].北京：科學出版社，2008.

[2] Krasnov M L，Kiselyov A I，MakarenKo G I.A book of problems in ordinary differential equations[M].Moscow：Mir Publishers，1983.

[3] 方書盛.變系數線性微分方程的算子解法[J].數學的實踐與認識，2004，34（7）：159-165.

[4] 黎耀善.二階線性微分算子的分解及其應用[J].數學的實踐與認識，1989（2）：56-62.

[5] Ramankutty P.The complementary funtion and the general solution[J].Mathematics Magazine，1991，64（2）：124-130.

[6] 李鴻祥.常微分方程的一些新的可積類型[J].數學的實踐與認識，1980，10（1）：46-51.

[7] 章聯生.高階變系數線性微分方程的一些新的可積類型[J].數學的實踐與認識，2009，39（15）：229-234.

[8] 寧榮健，唐爍，朱士信.一類二階變系數線性微分方程的積分因子解法[J].大學數學，2006，22（2）：123-126.

[9] 王黎輝.一類二階變系數線性微分方程及其解的構造方法[J].大學數學，2006，22（5）：146-149.

[10] 何眾琦.兩類可積的二階線性方程[J].高等數學研究，2008，11（3）：5，28.

[11]馮錄祥.一類Riccati方程的推廣[J].數學的實踐與認識，2003，33（5）：115—119.

The Operator Method to Solve a Type of Linear Differential Equations of the Second Order with Variable Coefficients

FANG Shu-sheng

（Dahao Second Middle School of Shantou，Shantou 515071，Guangdong，China）

A technique of the operator to solve a type of linear differential equations of the second order with variable coefficients is given.The integrable type is discussed which is enabled to use the operator method to find the general solution of given differential equation.

second order；variable coefficients；operator method；integrable type.

O 175.1

A

1001-4217（2010）01-0012-06

2009-05-19

方書盛（1945-），男，廣東普寧人，大學本科，高級教師.研究方向：微分方程的解析解.E-mail：sh_fang1212@163.com