離散時間更新模型破產時間概率母函數若干性質的證明

包振華，張紹華

（遼寧師范大學數學學院，遼寧大連116029）

離散時間更新模型破產時間概率母函數若干性質的證明

包振華，張紹華

（遼寧師范大學數學學院，遼寧大連116029）

利用離散時間更新模型，獲得了關于破產時間概率母函數的上下界估計以及漸近表達式.作為應用，得到了延遲更新模型下破產時間概率母函數的上下界.

離散時間更新模型；破產時間；概率母函數；延遲更新模型

0 引言

與連續時間更新風險模型相比，文獻中關于離散時間更新模型的研究結果相對較少.Li[1]在研究索賠間隔時間服從離散的Km分布時獲得了離散時間更新模型期望貼現懲罰函數的遞歸公式；隨后，Li[2]獲得了關于各種破產量如破產時間、破產前盈余及破產后赤字的顯示表達；Wu和Li[3]研究了一般索賠間隔時間下離散時間更新模型的貼現懲罰函數，并考察了當索賠額服從一些特殊分布時的具體表達式.相關研究參見Cheng等人[4]，Landriault[5]等文獻.本文將主要研究一般索賠間隔時間下普通的離散時間更新風險模型破產時間的概率母函數，給出了相應的上下界估計以及漸近表達式.作為應用，我們還獲得了延遲更新模型下破產時間的概率母函數的上下界估計.本文所獲得的結果補充了現有文獻中關于離散時間更新風險模型的研究.

1 模型的基本結構

全文約定N為自然數集，N+=N－{0}.普通的離散時間更新風險模型具有如下的基本結構.

1）索賠間隔時間{Vi；i∈N+}是獨立同分布（i.i.d.）且取值于正整數的隨機序列，具有共同的概率函數k（t）=P（V1=t）.到達任意時刻n的索賠次數為：

2）個體索賠量{Xi:i∈N+}是i.i.d.且取值于正整數的隨機序列，具有共同的概率函數f（x）=P（X1=x），分布函數為F（x）=1-F（x）.假設{Xi:i∈N+}與{Vi:i∈N+}是相互獨立的.

3）保險公司到達時刻n為止的資本剩余過程為：

u∈N為保險公司的初始資本.假設E V2=（1+θ）E X1，其中θ＞0為正的安全負載系數.

對于上述普通的離散時間更新風險模型，令T=min{n∈N+:U（n）＜0}為最終破產時間，記：?T（u）=E［γTI（T＜∞）│U（0）=u］為破產時間的概率母函數，其中γ∈（0，1］為貼現因子.當γ→1時，?T（u）即為離散時間更新模型的最終破產概率.

對于i∈N，t，j∈N+，令f（i，j，t│u）為初始盈余為u時破產前盈余、破產后赤字以及破產時間的聯合概率函數，并記：

由文獻［1］我們知道：

這里L*k（u）是L關于其自身的k重卷積.容易看出，

對于任意的概率函數a，本文用a^（s）代表其概率母函數.考察下面推廣的Lundberg基本方程：

Li[1]證明了一定存在某個Rγ＞1滿足方程（4），我們將Rγ稱為推廣的調節系數.由文獻［3］知，方程（4）與方程

具有相同的根.

2 主要結果及證明

現在我們已經準備好證明本文的主要結果.首先給出?T（u）的一個上界估計.

定理1假設Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

證明對于任意的u∈N，注意到Rγ＞1為式（4）的根，因此也是方程（5）的根，有：

用歸納法.假設式（6）對任意的k≤n成立.則根據歸納假設及式（2）和式（7）有：

注意到由式（3）即知式（6）成立.

下面給出?T（u）的下界估計.

定理2假設Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

由式（2）以及式（9）有：

顯然H∞（u）=1是方程H∞（u）=H0（u）的唯一解.由式（11）知式（8）成立.

如果索賠量服從參數為q的幾何分布，即f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，則由文獻［3］第4節知此時l（j）=f（j），通過簡單的計算得.因此，由定理1和定理2可以得到下面的結論.

推論1假設索賠量服從幾何分布f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，并且Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

利用方程（1），我們還可以得到?T（u）的一個漸近表達式.

定理3假設Rγ＞1為滿足（4）的解，則有：

關于普通的更新模型的一個明顯缺陷是，直接或間接地假設了在初始零時刻有一次索賠發生，這通常與實際不相符合，而延遲更新風險模型可以克服這個缺陷.所謂延遲更新風險模型，是指第一次索賠發生的時間V1與{V2，V3，…}獨立但是具有不同的概率函數k1（t），其它的假設條件與普通的更新模型一致.記（u）為延遲更新模型下破產時間的概率母函數.

由于第一次索賠發生后延遲更新模型即和普通的更新模型一致，通過考察首次發生索賠的時間和索賠額，有：

類似于σ1和σ2的定義，令：

利用定理1和定理2的結論，我們可以獲得延遲更新模型下破產時間概率母函數的上下界估計.

推論2假設Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

證明首先，由σ3的定義知：

由式（14）、（16）以及定理1得：

注意到Rγ＞1為滿

類似地，可以獲得延遲更新風險模型下破產時間的概率母函數的一個下界估計.

推論3假設Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

如果索賠量服從幾何分布，由前面的分析知σ1=σ2=σ3=σ4，因此由推論2和推論3可得下面的推論.

推論4假設索賠量服從幾何分布f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，并且Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

3 結語

本文研究了普通的離散時間更新風險模型下破產時間概率母函數的上下界估計以及漸近表達式.作為應用，我們得到了延遲更新風險模型下破產時間概率母函數的上下界估計，在索賠額服從幾何分布時可以得到精確的計算公式.延遲更新模型下的相關結果也可以通過破產時間概率母函數所滿足的瑕疵更新方程得到.使用同樣的方法我們還可以研究關于破產后赤字的上下界估計以及漸近表達式，從而得到延遲更新模型下赤字分布的上下界估計.

[1] Li S.On a class of discrete time renewal risk models[J].Scandinavian Actuarial Journal，2005（4）：241-260.

[2] Li S.Distributions of the surplus before ruin，the deficit at ruin and the claim causing ruin in a class of discrete time risk models[J].Scandinavian Actuarial Journal，2005（4）：271-284.

[3] Wu X，Li S.On the discounted penalty function in a discrete time renewal risk model with general inter claim time[J].Scandinavian Actuarial Journal，2009（4）：281-294.

[4] Cheng S，Gerber H U，Shiu E S W.Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model[J].Insurance:Mathematics and Economics，2000（269）：239-250.

[5] Landdriault D.On a generalization of the expected discounted penalty function in a discrete-time insurance risk model[J].Applied Stochastic Models in Business and Industry，2008（24）：525-539.[6]Karlin S，Taylor H M.A first course in stochastic processes[M].New York：Academic Press，1975.

Probability Generating Function of Ruin Time in the Discrete Time Renewal Risk Model

BAO Zhen-hua，ZHANG Shao-hua

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，Liaoning，China）

For the discrete time renewal risk model，the upper and lower bounds are obtained for the probability generating function（p.g.f.）of the ruin time.The asymptotic expression for p.g.f.of the ruin time is also derived.The upper and lower bounds are obtained for p.g.f.of the ruin time in the delayed renewal risk model.The results complement the study on the discrete time renewal risk model.

discrete time renewal risk model;ruin time;probability generating function;delayed renewal risk model

O 211.4

A

1001-4217（2010）03-0026-06

2009-09-24

包振華（1976-），男，遼寧大連人，副教授.研究方向：保險精算.E-mail：zhhbao@126.com

遼寧省教育廳高等學校科研資助項目（2009A423）