Laplace分布參數估計的損失函數和風險函數的Bayes推斷

徐美萍，段景輝

（1.北京工商大學 應用數學系，北京 100037；2.中國人民大學 統計學院，北京 100872）

0 引言

統計推斷是在不知道總體全部特征的情形下，通過樣本提供的信息來推斷總體分布或數字特征的一種統計程序。作為統計學中不可缺少的研究手段，它的重要性是不言而喻的。Bayes統計作為統計學中的兩大主要學派之一，其推斷的基礎是后驗分布。Bayes推斷利用總體分布中未知參數θ的先驗分布 π（θ）與樣本觀測值 x=(x1,x2,…，xn)提供的信息，得到后驗分布h(θ|x)。由于h(θ|x)綜合了總體、樣本和先驗信息，包含了θ所有可供利用的信息，所以有關θ的估計和檢驗的統計推斷都按一定方式從后驗分布中提取信息，其提取方法相對于頻率學派的經典統計推斷，簡單明了；對小樣本一般也有較好的推斷效果。

根據統計判決理論，在使用統計推斷結果時必需與得失聯系在一起考慮，即用d=δ(x)作為未知參數θ的估計會帶來一定的損失，其損失函數通常用w(θ,d)表示。由于w(θ,d)作為θ的函數是不可觀測的，所以有必要對w(θ,d)作精度估計。假設r是損失函數w(θ,d)的一個精度估計，文獻[1]引入新的損失函數

該損失函數把w(θ,d)與其精度估計γ集合起來，給出了γ關于 L(θ,d,γ)的 Bayes估計 γB(x)，恰好是 θ 的 Bayes估計 δB(x)的后驗損失，即

從頻率學派的觀點考慮[2]，總希望損失函數w(θ,d)的一個估計 γ(x)是一個保守估計，即滿足 Eθ[γ(x)]≥R(θ,δ(x))=Eθ[w(θ,d)]，那么從總體上來說可使r(x)不會低于平均損失。為此給出γ(x)成為一個保守估計的未知參數θ需滿足的一般條件就顯得非常重要。

在統計、工程和數學文獻中我們經常會遇到Laplace分布。它具有較高的尖和稍厚的尾，常用于模擬長尾對稱數據，如誤差、收益率等。Laplace分布還具有幾何無限可分性，即，若設vp服從均值為1/ρ的幾何分布，{Xi,i=1,2,…，}為獨立同分布的隨機變量序列，且與vp獨立，則存在實數ap＞0，bp使得當p→∞時的極限分布為Laplace分布。在金融資產定價中我們總是用幾何布朗運動來解釋Laplace分布的這種無限可分性質[3]。

文獻[5]、[6]等分別討論了一些常見分布的參數估計的損失函數和風險函數的Bayes推斷,得出了一些有用的結果。本文將討論Laplace分布參數估計的損失函數和風險函數的Bayes推斷問題，給出其損失函數和風險函數的Bayes估計為保守估計的一般條件，并對上證指數收益率數據作實證分析。

1 Bayes估計

1.1 Laplace分布參數的估計與后驗分布

本文討論的Laplace分布的密度表達式為

設x=(x1,x2,…，xn)是來自(3)的一組樣本觀測值，則有似然函數

若 θ 取(4)式的共軛先驗分布 IΓ(α,λ)，即

其中 α＞0，λ＞0，則 θ 的后驗分布為

即 IΓ（n+α,t+λ）[7]。

1.2 損失函數的Bayes估計

取 w(θ,d)為平方損失函數(θ-d)2（其中 d=δ(x)是未知參數θ的估計），則θ的Bayes估計為

式（6）增加了未知參數θ的先驗信息，可以看作是其最大似然估計θ^的一個修正。

設 w(θ,d)的精度估計為 γ，則 w(θ,d)關于損失函數 L(θ,d,γ)=w(θ,d)γ-1/2+γ1/2的 Bayes估計為

1.3 風險函數的Bayes估計

由(6)式，θ的Bayes估計δB(x)的風險函數為

從上式可看出R(θ,δB)是未知參數θ的函數，所以可對它進行估計。又由于 R(θ,δB)是 w(θ,δB(x)的均值，故我們還可以把R(θ,δB)的估計作為 w(θ,δB(x)的估計。 在平方損失下，R(θ,δB)的Bayes估計為

2 γB(x)與 φB(δB)為保守估計的條件

定理 1 對給定的 α＞0，λ＞0,γB(x)為保守估計的充要條件是θ滿足：

注意到保守估計的定義及（8）式，要使 Eθ[γB(x)]≥R(θ,δB)，當且僅當

移項整理即得(10)式。

定理 2 對給定的 α＞0，λ＞0,φ(δB)為保守估計的充要條件是θ滿足：

接下來的證明與定理1類似。

綜合上述討論，φ(δB)與 γB(x)作為平方損失函數 w(θ,d)的精度估計各有優勢，我們可以結合的先驗信息，根據實際需要及具體計算結果，選取其中之一作為損失函數的精度估計。如果樣本容量較大，先驗信息又告訴我們的可能取值較小，那么選取φ(δB)要好, 而當 θ的可能取值較大時，取 γB(x)作為 w(θ,d)的精度估計不失為一種良策。下面的實證分析結果表明當θ接近于 1，而n、α、λ的值較大時，保守性是較易滿足的一種條件。

圖1 上證指數收益率數據的累積分布與laplace分布函數圖

3 數值分析

本文數據來源于 http://www.google.cn/finance/historical。我們選取了2000.1.4～2009.5.15的上證指數收盤價共2253個數據，通過繪制上證指數收益率(單位：%)數據的累積分布與laplace分布函數圖發現它們的擬合度很高(圖1)。KS(Kol?mogorov-Smirnov)檢驗結果顯示它們之間的最大距離為D=0.0149,相伴概率為0.6968，可以認為上證指數收益率服從Laplace分布。由于收益率數據常常近似獨立，所以我們從原始數據中隨機抽樣500次，每次抽取容量為1000的一個樣本，計算θ的最大似然估計，并把它們作為θ的一組樣本觀測值，得到θ的樣本平均值為1.1995，樣本方差為0.0009。由于我們假定 θ 取先驗分布 IΓ(α,λ)，所以 E(θ)=λ/(α-1),Var(θ)=λ2/(α-1)2(α-2)，由矩估計法可解得 α=1600.667,λ=1918.8。再做KS檢驗，結果表明θ的樣本觀測值與先驗分布之間的最大距離為D=0.0362，相伴概率為0.5302，不能拒絕θ服從IΓ(α,λ)分布，符合假定。 易算得此時 γB(x)與 φ(δB)均為平方損失函數的保守估計。

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