三維直流電場標量擬解析近似法數(shù)值模擬精度分析與評價

張金會,孫建國

(1.吉林大學 地球探測科學與技術學院,吉林長春 130026;

2.國土資源部應用地球物理綜合解釋理論開放實驗室,吉林長春 130026;3.安徽省勘查技術院 綜合物探分院,蚌埠 233005)

三維直流電場標量擬解析近似法數(shù)值模擬精度分析與評價

張金會1、2、3,孫建國1、2

(1.吉林大學 地球探測科學與技術學院,吉林長春 130026;

2.國土資源部應用地球物理綜合解釋理論開放實驗室,吉林長春 130026;3.安徽省勘查技術院 綜合物探分院,蚌埠 233005)

擬解析近似方法是一種可以處理強散射或大擾動問題的求解積分方程的近似方法,該方法可以避免用傳統(tǒng)數(shù)值方法解決問題時,所遇到的大型矩陣或大型代數(shù)方程組問題。根據(jù)孫建國在文章[14]中的求解異常電場積分方程的標量擬解析近似理論公式,對標量擬解析近似進行研究。對均勻場中的異常球體標量擬解析近似解進行計算,并與理論解進行了對比,驗證了其精度,證明擬解析近似方法求解直流電場積分方程是可行的。通過對標量擬解析近似方法在直流電場數(shù)值模擬的研究,為三維直流電場快速正反演模擬打下了基礎。

積分方程;擬解析近似;直流電場

0 前言

直流電法在地球物理勘探中占有重要地位,直流電法在油氣田盆地邊界劃定,金屬礦勘探,以及地下水勘探等方面有著重要而廣泛的應用。利用數(shù)值方法可以對三維直流電場模擬,但傳統(tǒng)的微分方程法和積分方程法,都會遇到大型矩陣或求解大型線性代數(shù)方程組的問題,對計算機內存要求高,計算時間長等問題,尤其是在地下介質復雜的情況下,這些問題更突出。為了解決這些問題,人們在努力尋求快速精確的數(shù)值模擬方法。TM Habashy等[1]在1993年在以研究電磁場問題時,提出了局部非線性近似方法;Zhdanov等[2]在1996年研究電磁場散射場問題時,受到TM Habashy的局部非線性近似方法的啟發(fā),提出了擬線性近似方法用來求解電磁波散射場的積分方程。這種方法假設異常電場Ea(r)與正常電場E0(r)之間是由電反射張量λ^(r)聯(lián)系起來的擬線性關系,即:

通過這一假設,簡化了電磁場的積分方程,從而提高了計算速度,電反射張量λ^(r)由最優(yōu)化的方法求出,并于2000年將擬線性近似方法應用于電磁場反演[3]。在用來反演美國新墨西哥州的CSAM T數(shù)據(jù)時,取得了很好的效果。由于擬線性近似仍要求解線性代數(shù)方程組,因此Zhdanov[4]經(jīng)過研究,于2000年假設電反射張量λ^(r)在異常體內為緩變函數(shù),由一種相對簡單的替代方法確定λ^(r),這種方法稱為擬解析近似方法,并提出了擬解析近似序列。孫建國[5、6]通過對電磁場中的擬線性近似方法和擬解析方法的研究,先后提出將擬線性近似方法和擬解析近似方法應用到直流電場模擬及聲波散射模擬。孫建國[7～9]在2001年擬線性近似方法用于2.5維直流電阻率正演中,在2002年對擬線性近似方法用于地球物理反演進行了討論,接下來在2003年對穩(wěn)定電流場的電位反射函數(shù)進行了研究。孫建國[10～12]2004年對穩(wěn)定電流場中的擬線性近似方法進行了研究,給出了直流電位場數(shù)值模擬的擬解析方法。孫建國[13]在2005年研究了直流電場中的電反射張量,給出直流電場中的擬線性近似方法和擬解析近似方法的理論公式,并對電反射張量進行了詳細的分析,對穩(wěn)定電流場擬解析近似方法進行精度分析[14]。孫建國[15]又于2006年對穩(wěn)定電流場擬解析近似方法進行了數(shù)值評價。

作者在本文的目的,是在2005年J.Sun推導出直流電場的標量擬解析近似的理論公式基礎上,對標量擬解析近似進行研究。通過選取存在解析解的均勻場異常球體進行計算,將標量擬解析近似解與解析解進行對比,驗證了標量擬解析近似的精度,進而檢驗標量擬解析近似的可行性。通過作者對標量擬解析近似在直流電場模擬中的研究,為直流電場正、反演數(shù)值模擬提供了一種快速的方法。

1 基本方程及公式

作者是在Sun.J給出的理論公式的基礎上,經(jīng)推導得到擬解析近似方法實現(xiàn)過程中的,在該文章中未明確給出的部份。在對三維異常體進行計算時,積分采用三維高斯積分進行計算,并對積分中出現(xiàn)的格林函數(shù)的奇異性進行了處理,進而實現(xiàn)擬解析近似方法在直流電場模擬中的應用。

J.Sun[13]在2005年給出了異常體內部直流電場的積分方程式(1),以及異常體外部的積分方程式(2)。

在公式(1)、公式(2)中Ω表示異常體,ja(r)為二次電流密度,由式(3)給出。

EBa(r)為Ea(r)的Bo rn近似。(r′,r)為并矢格林函數(shù),由式(7)給出。

J.Sun[13]于2005年通過假設電反射張量為0階張量,令:

Ι為單位張量,得到了方程(4)的解:

作者通過對公式(11)進行整理,得到式(12)。

在式(12)中,g(r)可由式(13)得到。

將公式(12)代入公式(1)中,得到式(14)。

將式(14)得到的Ea(r)代入式(3),從而得到ja(r)。將ja(r)代入公式(2)中,即可得到異常體外部的異常電場Ea(r)。

通過方程(4),我們可以建立擬解析近似的迭代方程[13]式(16)。

其中 m是迭代數(shù)。令

利用方程(16),當異常體電導率同圍巖相比變化劇烈時,擬解析近似解不能得到想要的結果,我們可以通過方程(16)的擬解析近似的迭代解得到滿意的結果。在一般情況下,迭代次數(shù)m在不超過5的情況下,就可以得到滿意的結果。

2 標量擬解析近似球體異常體電場值計算

為了對標量擬解析近似進行研究,并驗證標量擬解析近似方法的精度,可選取存在解析解的均勻場中的異常球體模型。根據(jù)上面標量擬解析近似的公式,選取一組地電模型進行計算,場源采用均勻場沿x方向,強度為10 V/m,異常球體半徑為100m,球心坐標為(0m,0m,0m),選取一組背景介質和異常球體電導率變化的地電模型。對于異常體外部異常電場,選取的模擬測點分布在球心對稱z=400m處球體上方主剖面AB上。對均勻場中的五個地電模型,在分別進行計算后得到了其外部電場,并進行精度分析和評價。

地電模型如圖1所示。

圖1 均勻場中異常球體模型示意圖Fig.1 Modelof anom alous sphere in the unifo rm field

(1)當σ0=1.0西門子(S)、σa=0.01 S時,異常電場x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比如下頁圖2所示。當異常體電導率與背景介質電導率相差很小時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差都很小,在1%以內。擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.334%、0.332%;Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.927%、0.949%,擬解析近似解誤差比Bo rn近似解誤差小。

(2)當σ0=1.0S、σa=0.1S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比,如下頁圖3所示。當異常體電導率與背景介質電導率相差較小時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差都較小,在5%以內,擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.834%、1.11%;Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為4.19%、3.35%,擬解析近似解誤差比Born近似解誤差小。擬解析近似比Born近似更適用于該模型的模擬。

(3)當σ0=1.0 S、σa=-0.9 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比,如后面圖4所示。當異常體電導率與背景介質電導率相差變大時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差也增大,Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為30.0%、29.85%;擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為6.45%、7.35%;擬解析近似解進行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為2.98%、2.51%。

(4)當σ0=1.0 S、σa=-0.99 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比如后面圖5所示。當異常體電導率與背景介質電導率相差變大時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差也增大,Bo rn近似解x分量、z分量平均誤差分別為33%、32.09%;擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為8.90%、10.06%;擬解析近似解進行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為1.03%、0.85%。擬解析近似迭代后與理論解相吻合。

(5)當σ0=0.1 S、σa=0.9 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解和Born解與理論解[16]對比,如后面圖6所示。擬解析近似解與Bo rn近似解平均誤差隨著電導率變化增大劇增,平均誤差超過50%,擬解析近似解進行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為5.41%、5.38%?？梢钥闯?擬解析近似進行迭代后誤差較小,表明該方法可用于大擾動電導率地電模型的電場模擬。

通過對均勻場中異常球體的標量擬解析的計算及誤差分析可見,當異常體電導率變化較小時,標量擬解析近似取得了很好的計算結果。異常體電導率變化較大時,標量擬解析近似解誤差有所增大,但在進行迭代后,標量擬解析近似和理論解相吻合。

圖2 σ0=1.0 S,σa=0.01 S時電異常曲線圖Fig.2 W hileσ0=1.0 S,σa=0.01 S,the anom alous electrical field curves

圖3 σ0=1.0 S,σa=0.1 S時電異常曲線圖Fig.3 W hileσ0=1.0 S,σa=0.1 S,the anom alous electrical field curves

比較圖4和圖5與圖6(見下頁)可知,當異常體為高阻體時,標量擬解析近似解與理論解比較,誤差要小很多,所以標量擬解析近似解模擬的高阻體時效果更好。

圖4 σ0=1.0 S,σa=-0.9 S時電異常曲線圖Fig.4 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.9 S,the anom alous electrical field curves

圖5 σ0=1.0 S,σa=-0.99 S時電異常曲線圖Fig.5 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.99 S,the anom alous electrical field curves

3 結論

作者在本文對求解電場積分方程的標量擬解析近似解進行了研究,通過直接對異常體進行數(shù)值積分,避免了在傳統(tǒng)數(shù)值方法解決問題時,所遇到的大型矩陣或大型代數(shù)方程組問題,大大提高了計算速度。作者對異常體為球體時進行了異常電場的標量擬解析近似數(shù)值模擬,對于其它形狀的異常體,也同樣可以用本方法進行模擬,如橢球體、立方體等。通過對存在解析解的均勻場中的異常球體進行的標量擬解析模擬,表明標量擬解析近似方法具有很高的精度和計算速度。當異常體電導率變化較大時,可以通過對標量擬解析近似解進行迭代,仍可以達到很高的精度。簡單幾何體異常體的空間組合,可以用來模擬復雜分布的地下礦體,在模擬復雜模型時,不同簡單幾何體異常體之間是相互影響的,將某個異常體對其它異常體的影響作為一個二次場源,利用擬解析近似方法,可以對復雜地電模型進行模擬。擬解析近似方法可以對球體、立方體、橢球體等簡單幾何異常體進行模擬,通過簡單幾何形體的組合,可對復雜地電模型進行數(shù)值模擬,這就初步表明了該方法具有處理復雜地電結構的模型的能力。作者在本文中,通過直流電場標量擬解析近似方法實現(xiàn)的研究,為三維直流電場的快速正演、反演模擬,提供了快速的,精確度高的數(shù)值模擬方法。

圖6 σ0=0.1 S,σa=0.9 S時電異常曲線圖Fig.6 W hileσ0=0.1 S,σa=0.9 S,the anom alous electrical field curves

[1]HABASHY TM,GROOM W R,SPIESR B.Beyond the Born and Rytov App roxim ations:A Non linera App roach to Electrom agnetic Scattering[J].Jou rnalof geophysical research.1993,98(B2):1759.

[2]ZHDANOV M S,FANG S.Quasi-liner app roxim ation in 3-D eledtrom agnetic modeling[J].Geophysics.1996,61(3):646.

[3]ZHDANOV M S,FAND S,HURSAN G.Electrom agnetic inversion using quasi-linear app roxim ation[J].Geophysics.2000,65(5):1501.

[4]ZHDANOV M S,DM ITR IEV V I,FANG S,et al.Quasi-analytical app roxim ations and series in electrom agneticmodeling[J].Geophysics.2000,65(6):1746.

[5]孫建國.聲波散射數(shù)值模擬的兩種新方案[J].吉林大學學報:地球科學版.2006:863.

[6]劉寧,孫建國.起伏地表條件下的聲波散射數(shù)值模擬的積分方程法[J].吉林大學學報:地球科學版,2007:61.

[7]陳麗虹,孫建國,王忠仁.擬線性近似方法在2.5維電阻率正演中的應用[C].中國地球物理學會第十七屆學術年會.昆明:云南科技出版社,2001.

[8]陳麗虹,孫建國.地球物理反演的擬線性近似方法綜述[J].地球物理學進展.2002,17(3):464.

[9]孫建國.穩(wěn)定電流場的電位反射函數(shù)[C].中國地球物理學會第十九屆年會,南京:南京師范大學出版社,2003.

[10]孫建國.穩(wěn)定電流場數(shù)值模擬的擬線性近似[C].中國地球物理學會第二十屆年會,西安:西安地圖出版社,2004.

[11]陳麗虹,孫建國.穩(wěn)定電流場的擬線性近似方法研究[J].石油地球物理勘探.2004,39(5):589.

[12]孫建國.直流電位場數(shù)值模擬的擬解析法[C].中國地球物理學會第二十屆學術年會,西安:西安地圖出版社,2004.

[13]SUN J.On the electrical reflectivity tensor in d.c electric field modelling[J].Geophysical Prospecting.2005,53:411.

[14]孫建國.穩(wěn)定電流場擬解析近似精度分析[C].中國地球物理學會第二十一屆年會,長春:吉林大學出版社,2005.

[15]孫建國.穩(wěn)定電流場擬解析近似的數(shù)值評價[C].中國地球物理學會第二十二屆年會,成都:四川科學技術出版社,2006.

[16]傅良魁.電法勘探教程[M].北京:地質出版社,1983.

O 175.5

A

1001—1749(2010)06—0607—06

國家高技術研究發(fā)展計劃(863)(2006AA 06Z109);國家自然科學基金項目(40574052);國家重點基金研究發(fā)展計劃(973)課題(2007CB209603)

2010-06-21 改回日期:2010-09-25

張金會(1980-),男,河北衡水人,博士,研究方向為直流電場模擬。