John基等價條件的推廣

鄭 敏, 冷崗松

(上海大學 理學院,上海 200444)

John基等價條件的推廣

鄭 敏, 冷崗松

(上海大學 理學院,上海 200444)

John基在凸體幾何分析中占有重要地位,是研究凸體包含最大體積橢球的基礎.將 John基的 3個等價條件推廣到雙 John基,并給出證明.

John基;接觸對;極體;雙 John基

Abstract:John bases occupy an important place in convex geometry,and are fundamental in studying maximal ellip soid contained in convex.In thispaper,we extend John bases to generalized John bases and p resent the proof.

Key words:John bases;contact pair;polar;double John bases

1 John基及其等價條件

定義 1[8]K表示包含原點的凸體,則 K＊表示K的極體,滿足下面條件:K＊={x|〈x,y〉≤1,對于任意的 y∈K}.

定義 2[3]C1是 Rn緊凸集,C2是 Rn中線性形式的緊子集,設 C1?C＊2,(x,y)稱為 (C1,C2)的接觸對,如果滿足以下條件:

定義 3[8]集合 T的凸包是 T中所有點的凸組合所組成的集合.

BALL[5]提出的 John定理如下:

定理 1 每一個凸體 K都包含著唯一一個體積最大的橢球Bn2,當且僅當 B2n?K,且在 K的邊界上存在m個單位向量 u1,u2,…,um和m個正數 c1,c2,…,cm(其中 m是某個正整數)滿足

若且對于任意的x都成立,則稱{ui}為 John基.

定理 2 設 Rn為 n維空間,ui為 Rn中單位列向量,ci是正實數,i=1,2,…,m,In為 n階單位矩陣,則下面 3個等式等價:

John定理給出了包含在凸體內的體積最大的橢球為歐氏球的充要條件,Gordon等[6]將 John定理推廣到更為普遍的情況.

定理 3 設 C1和 C2為 Rn中的兩個緊凸集,并且 C1的凸包有非空內點,o∈conv(C2).如果conv(C1)位于 C＊2中,并且體積最大,則存在 (C1,C2)的 m0,使得

定理 4 設 C1和 C2為 Rn中的兩個緊凸集,并且 C1的凸包有非空內點,o∈conv(C2),(xi,yi)1≤i≤m是 (C1,C2)的 m 個接觸對 ,則下面 3個等式等價:

2 John基推廣形式的等價證明

本節給出推廣 John基的等價形式,在證明之前先給出一些引理.

引理 1 A為 n×n的矩陣,x為 Rn中的列向量,若 Ax=0對于任意的 x都成立,則 A=0.

引理 2 A為 n×n的對稱矩陣,x為 Rn中的列向量,〈Ax,x〉=0對于任意的 x都成立,則 A=0.

引理 3 α,β,γ表示 Rn中的列向量,則 (α?β)γ=〈β,γ〉α.

證明 設 α′=(α1,α2,…,αn),β′=(β1,β2,…,βn),γ′=(γ1,γ2,…,γn)為 Rn中的列向量 ,則

所以 ,(α?β)γ=〈β,γ〉α.

定理 4的證明 先由 (2)推導 (3).

由引理 3,可得

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(編輯:孟慶勛)

Generalization for Equivalence of John Bases

ZHENGM in, LENG Gang-song
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 186.5

A

1007-2861(2010)04-0380-03

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.04.010

2009-05-25

冷崗松 (1961～),男,教授,博士生導師,博士,研究方向為凸幾何、幾何分析.E-mail:gleng@staff.shu.edu.cn