關(guān)于實(shí)對(duì)稱帶狀矩陣逆特征值問(wèn)題擬Lanczos算法的改進(jìn)

李杰紅,王 成

(1.天津科技大學(xué)理學(xué)院,天津 300222;2.唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,河北唐山 063000)

關(guān)于實(shí)對(duì)稱帶狀矩陣逆特征值問(wèn)題擬Lanczos算法的改進(jìn)

李杰紅1,王 成2

(1.天津科技大學(xué)理學(xué)院,天津 300222;2.唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,河北唐山 063000)

關(guān)于實(shí)對(duì)稱帶狀矩陣的逆特征值問(wèn)題,文章對(duì)擬Lanczos算法給出了一點(diǎn)改進(jìn),通過(guò)實(shí)際計(jì)算驗(yàn)證,該算法簡(jiǎn)單且數(shù)值穩(wěn)定。

特征值;逆問(wèn)題;擬Lanczos算法

1 問(wèn)題的提出

1977年D.Boley和G.H.Golub提出了關(guān)于該問(wèn)題的塊Lanczos算法,此算法首先由矩陣A的p+1個(gè)有關(guān)的順序主子矩陣的特征值來(lái)確定A的標(biāo)準(zhǔn)化的特征向量的前p列的分量,再用塊Lanczos算法計(jì)算出矩陣A,該算法要求矩陣的半帶寬 p能整除矩陣的階數(shù)n,以及隔離條件(Ⅰ)成立。

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,1985年殷慶祥在第一屆逆特征值會(huì)議上提出了“關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣的逆特征值問(wèn)題的擬Lanczos算法”[1],文中取消了塊Lanczos算法的第一個(gè)要求,但保留了第二個(gè)要求,就 p=2(即五對(duì)角矩陣)滿足隔離條件(Ⅱ),且p能整除n的情況給予了問(wèn)題存在的證明。本文將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行擴(kuò)展,即在隔離條件滿足(Ⅰ)、取消 p能整除n的條件下給出問(wèn)題解存在性的證明。

2 主要結(jié)論

定理 設(shè)J為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,X為n階正交矩陣,若A= XTJX為帶寬是2p+1的實(shí)對(duì)稱帶狀矩陣,且其最外超對(duì)角元素為正,則A和X由J和X的前p列(或后p列)唯一決定。

證明 記 X=(x1,x2,…,xn),其中 xi=(qi1,qi2,…, qin),i=1,2,…n。

其中A的第 j列為Aj=(0,…,ai-p,j,…,ajj,…,aj+p,j,…,0)T。

比較(1)式兩端的第 j列,得

這里規(guī)定 xj=0。當(dāng) j>n或 j≤0時(shí),aj-p,j=0,j-p≤0。然后利用 X列的單位正交性得

對(duì)上式兩邊取范數(shù)得

aj+p,j= ‖rj‖2,xj+p=rj/aj+p,其中 j=1,2,…,n。

因此,由 X的前 p列 x1,x2,…,xp可唯一決定a11,a21,…,ap1,由于 j=1時(shí),aj-1,j,…,aj-p,j均為0,故 r1已知,這樣 ap+1,1,xp+1可唯一決定,一般地,由式(3)可唯一決定 ajj, aj+1,j,…,aj+p,j,xj+p,因此 X,A的全部元素可由 X的前 p列和J唯一決定。證畢。

理論上講,由式(3)計(jì)算出來(lái)的 xj(j=1,2,…,n)應(yīng)該是正交的,但是由于舍入誤差的影響,向量可能會(huì)失去正交性,因此,同塊Lanczos算法、擬Lanczos算法一樣,重正交化過(guò)程常常是必須的,因此該問(wèn)題還有待進(jìn)一步完善。另外一般的提法是指定了矩陣A的順序主子矩陣A(k)=(aij),(i,j =k,…,n)的特征值,而在本文中使用的是A的倒順序主子陣A(k)=(aij),(i,j=k,…,n)的特征值,因此,在利用本算法后,為了和一般的提法相符合,還要用矩陣對(duì)本文所求矩陣做相似變換。

3 結(jié)語(yǔ)

由于塊Lanczos算法、擬Lanczos算法在本文的定理中都要求所求帶狀矩陣的最外超對(duì)角元素為正,這一條件我們認(rèn)為太強(qiáng),經(jīng)過(guò)嘗試,可以把該條件放寬為:所求帶狀矩陣的最外超對(duì)角元素非負(fù)。因此該問(wèn)題還有待進(jìn)一步完善。

[1] 殷慶祥.實(shí)對(duì)稱帶狀矩陣特征值反問(wèn)題的擬Lanczos方法[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1989,8(1):65-73.

(責(zé)任編校:李秀榮)

On the Im proved Algorithm of Quasi-Lanczos of the Inverse Problem for Real Symmetric Band Matrix

LIjie-hong1,WANG Cheng2
(1.College of Sciences Tianjin University of Science&Technology,Tianjin 300222,China;2.Tangshan College, Tangshan 063000,China)

This paper attempts to imp rove Quasi-Lanczos of the inverse problem for real symmetric band matrix which can be applied to all cases and this algorithm is simple with stable numerical value.

eigenvalues;inverse problem;Quasi-Lanczos algorithm

O241.6

A

1672-349X(2010)06-0022-01

2010-09-22

李杰紅(1970-),女,副教授,主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)方面的研究。