Rayleigh-Ritz法在應用中需注意的幾個問題

彭 震,賈培強,李 晶

(唐山學院,河北唐山 063000)

Rayleigh-Ritz法在應用中需注意的幾個問題

彭 震,賈培強,李 晶

(唐山學院,河北唐山 063000)

結合實例提出了Rayleigh-Ritz法在應用中需注意的幾個問題,有助于Rayleigh-Ritz法的準確運用,從而提高利用該方法解決問題的計算精度。

Rayleigh-Ritz法;試函數;邊界條件;勢能泛函;完備性

Rayleigh-Ritz法[1]是用最小勢能原理推導出的一種計算方法,在結構分析中的重要應用之一是利用它求解復雜問題的近似解。當Rayleigh-Ritz法在1908年被提出時,其理論基礎并不完備,只是在實踐中證明它卓有成效。它的理論基礎在經過人們多年努力后才開始有了頭緒。由于教材對此問題闡述的不多,在用其求解收斂性問題時又涉及到較深的泛函分析,故本文僅從該方法應用的角度做些探討。

1 Rayleigh-Ritz法的本質

Rayleigh-Ritz法解決問題的出發點是將彈性結構的總勢能 П表達成結構位移的函數。對于一個處于穩定平衡條件下的彈性結構,依據最小勢能原理,使結構總勢能 П取得最小值的位移就是真實位移。位移試函數可預先假設為無窮級數、富里葉級數或任何其它形式的級數。

例如,將試函數設為無窮級數

式中 u0,v0,w0,ui,vi,wi為滿足邊界條件的假定位移函數, Ai,Bi,Ci為任意常數。

對于實際問題而言,由于結構的復雜性,事先假定的位移函數只能近似地表示結構的真實變形形狀,基于近似形狀,利用位移函數的微分,可求反力和應力合力的近似值。由于反力和應力合力也是近似的,它們就不可能與結構上的實際載荷形成靜力平衡。可見Rayleigh-Ritz法的本質是在維數降低后的解空間去尋找近似解。

這里需強調一點,稱 Rayleigh-Ritz法是一種近似解法(一些書籍中的稱謂),和用它求近似解是不同的。可以肯定的是,若能列出包含真實位移在內的所有位移,該方法亦可求得精確解。

2 多項式的項數對試函數的影響

將試函數寫成無窮級數的形式,泛函將由無窮數列 a1, a2,…,an,…來確定。根據Weierstrass定理,若試函數符合連續函數的要求,可以靠增加項數來提高精度。由于一般情況需聯立求解方程才能得出系數 ai,數值條件不利于求解,所以,試函數在形式上是依賴于有限個參數an的函數族。

3 兩類邊界條件對試函數的影響

使用Rayleigh-Ritz法能否獲得成效,很大程度上與假設的位移函數 ——試函數選取是否得當有密切關系。構造位移試函數最好滿足兩類邊界條件:一類是試函數須事先滿足的幾何邊界條件;另一類是由勢能泛函駐值要求導出的條件,變分學稱之為強制邊界條件和自然邊界條件[2]。

3.1 強制邊界條件的影響

強制邊界條件由對實際約束情況的分析給定。如圖1所示的四邊簡支矩形薄板,其上有垂直于板面的任意分布荷載作用。位移試函數可假設為雙重正弦級數

滿足w為垂直板面方向的位移的幾何邊界條件是x=0,x= a處,w=0;y=0,y=b處,w=0。

圖1 四邊簡支矩形薄板

進一步分析還可知,在簡支邊處,限制自由翹曲,而允許繞著邊界的緣線自由轉動,故x=0,x=a處,繞x軸的彎矩Mx=0;y=0,y=b處,繞y軸的彎矩My=0。由彈性力學可知,將彎矩用位移試函數表示,上述條件也是滿足的。可見試函數的完備性越好,就越接近真實的位移函數。能否將問題考慮得面面俱到,就目前而言還靠經驗和深入分析。

又如圖2所示等截面懸臂梁,試函數可寫成n次多項式

也可寫成三角級數式

上兩式均滿足位移邊界條件x=0處,w=0;x=l處,w≠0。

圖2 等截面懸臂梁

3.2 自然邊界條件的影響

選擇試函數滿足自然邊界條件是不容易做到的。現用下例說明自然邊界條件。圖3所示一端固定一端自由的等截面直桿,受軸向載荷q(x)=x作用,設 EA=1,l=1,用試函數u(x)=a1x+a2x2來表示桿沿軸線方向位移,勢能泛函可寫成

按駐值要求δП=0導出,在 x=0處,有δu=0為強制

圖3 受軸向載荷的一端固定一端自由的等截面直桿

4 完備性對試函數的影響

Rayleigh-Ritz法是將含有無限多變量的泛函變分問題轉換成有限個多變量的函數極值問題來處理的一種方法。若試函數滿足邊界條件,且泛函的積分表達式的積分值接近泛函的極小值,則可認定這樣構造的函數序列將收斂于問題的解。

考察完備性是指假設的位移函數的近似程度是否真實準確地反映了結構的變形。構造滿足整個定義域所有邊界條件的試函數是困難的,通常可采用一些現有的結論。如泛函本身有二階導數項,選取的試函數就應使二階導數存在,等等。總之,對事物認識得越透徹越全面,越利于提高解的精度。有限單元法是Rayleigh-Ritz法局部化的解法,其核心是將解域離散,使每個單元具有完備性較好的試函數,然后再在一定條件下進行總裝。這種方法能適應各種復雜形狀,現已成為行之有效的工程分析手段。

[1] 孫訓方,方孝淑,關來泰.材料力學[M].北京:高等教育出版社,1994:249.

[2] 胡海昌,胡潤莓.變分法[M].北京:中國建筑工業出版社,1987:14.

(責任編校:夏玉玲)

Questions in the Application of Rayleigh-Ritz Method

PENG Zhen,JIA Pei-qiang,LIJing
(Tangshan College,Tangshan 063000,China)

Combined with examples,several questions w ere pointed out in the apllication of Ray-leigh-Ritz method.Solving these problems can contribute to the right apllication of Rayleigh-Ritz method and also imp rove the calculation accuracy.

Rayleigh-Ritz method;trial function;boundary condition;potential energy fonctio-nelle;completeness

O177

A

1672-349X(2010)06-0008-02

2010-07-14

彭震(1955-),男,教授,主要從事固體力學的教學與研究。