求平面曲線漸近線的一種方法

丁雪梅

（曲靖師范學院 數學與信息科學學院，云南 曲靖 655011）

求平面曲線漸近線的一種方法

丁雪梅

（曲靖師范學院 數學與信息科學學院，云南 曲靖 655011）

根據曲線漸近線的定義，給出了求平面曲線漸近線的一種方法及其推廣.

平面曲線；漸近線；方法

1 引言

如果一條曲線存在漸近線，我們就能知道這條曲線無限延伸時的走向及趨勢，求出曲線的漸近線有利于我們研究曲線的變化情況.

定義1當曲線C上動點P沿著曲線C無限遠移時，若動點P到某直線l的距離無限趨近于0，則稱直線l是曲線C的漸近線[1].

曲線的漸近線有兩種，一種是垂直漸近線，另一種是斜漸近線（包括水平漸近線）.若

或

則稱直線x=a是曲線y=f(x)的垂直漸近線.據此，不難判別一條曲線是否存在垂直漸近線并將其求出.相對而言，斜漸近線較難求出，本文主要探討斜漸近線的求法，給出一個定理及其應用并推廣.

2 定理

證明曲線y=f(x)上點(x,f(x))到直線y=k x+b的距離為

命題得證.

3 應用

解 因為

故直線x=0（即y軸）是曲線的垂直漸近線.

將函數f(x)改寫為

又因為

故直線y=x+2是曲線的斜漸近線.

解 因為

故直線x=-1是曲線的垂直漸近線.

將函數f(x)改寫為

又因為

故直線y=x-1是曲線的斜漸近線.

解 因為

故直線x=0（即y軸）是曲線的垂直漸近線.

已知

且

故直線y=1是曲線的水平漸近線.

例4求曲線f(x)=xarctanx的漸近線.

解 若將函數f(x)改寫為

因為

有

若將函數f(x)改寫為

又因為

有

故直線x=0是曲線的垂直漸近線.

將函數f(x)改寫為

且

故直線y=x是曲線的斜漸近線.

解 因為

將函數f(x)改寫為

又因為

有

4 推廣

我們可以根據曲線的漸近線的定義，類似定義曲線的漸近曲線，并對定理1進行推廣.

定義2若記兩點P與Q之間的距離為d(P,Q)，定義點P到曲線C的距離為

定義3設有一曲線C,當曲線C上動點P沿著曲線C無限遠移時，若動點P到某曲線Γ的距離無限趨近于0，則稱曲線Γ是曲線C的漸近曲線.

解 因為

故直線x=1是曲線的垂直漸近線.

將函數f(x)改寫為

又因為

所以當x→∞時，函數f(x)的圖像無限接近于拋物線y= (x-1)2.故曲線不僅有垂直漸近線x=1，還有漸近曲線y=(x-1)2.

〔1〕劉玉璉，傅沛仁，林汀，等.數學分析講義（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008：309.

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A

1673-260X（2010）08-0003-02