非線性兩點邊值問題的反插值Volterra型積分方程解法

付 宇,肖繼紅,呂 濤

(1.四川大學數學學院,四川成都 610064;2.四川理工學院理學院,四川自貢 643000)

非線性兩點邊值問題的反插值Volterra型積分方程解法

付 宇1,2,肖繼紅1,呂 濤1

(1.四川大學數學學院,四川成都 610064;2.四川理工學院理學院,四川自貢 643000)

對原為第一類邊值問題的非線性常微分方程采用并行打靶的方法,尋求原問題相對應的初值問題,將其轉換為Volterra型積分方程組離散求解,并采用外推技術進一步提高解的精度.同時,對問題的存在性,唯一性,以及算法的收斂性均進行了討論,并取得較好的數值結果.

二階非線性微分方程;并行打靶;反插值;外推

0 引 言

我們首先描述二階非線性常微分方程的兩點邊值問題的一般形式：其中,α,β為已知常數.

許多文獻都討論過系統(1)的解的存在唯一性問題[1-5],對于系統(1)的數值解的研究,宋興光做了一定探討,但其數值結果卻不盡詳盡或令人滿意[6].本文對問題(1)的解的存在性與數值結果都有詳盡討論,并有較好的結果.

考慮與系統(1)相對應的初值問題如下：

1 算 法

(3)式可轉化為Volterra型積分方程組,

其中,

這里定義,

現在,我們構造(4)式的離散形式.

取步長 h=1/k,對區間[a,b]進行 k等分,節點為,

則有,

對(5)式中的積分運用復合梯形公式,得離散方程,

算法1：

由算法1可解出,

其中,

2 解的存在唯一性、收斂性及誤差估計

對于系統(1)解的存在唯一性有如下定理：

定理1[1]設(1)式中函數f及在區域, Ω={(t,u,u′)|a≤t≤b,-∞＜u,u′＜∞}內連續,并且：

則邊值問題(1)的解存在且唯一.對(4)式中定義的 F→,假定存在常數L＞0,使得對任意的滿足,

下面討論算法1的收斂性及誤差估計.

引理1[2]如果序列滿足e0=0,|ei|≤+A,h足夠小,使得Lh＜1,則有,≤HA,這里,

定理2 如果h足夠小,則非線性系統(6)的解存在且唯一,并且簡單迭代式(7)是收斂的.

證明 首先,假設{u→i},{v→i}都是(5)式的解,則記它們的差為,

利用(8)式,顯然有,

當 h足夠小,使得,Lh＜1時,則有,

由引理1,此時A=0,所以,‖z→j‖=0.

其次,從簡單迭代式(7),并利用(8)式,有,

此說明迭代式是收斂的.

進一步,為了說明迭代的穩定性,令,

由(9)式有,

令 k→∞,則有,

證畢.

定理2說明了算法1的解是存在且唯一的.

為了討論(4)式的解的誤差,先給出如下引理.

引理2[3]令 g(x) ∈C2k+1[a,b],取 h=,則成立梯形公式的漸進展開式,

其中,B2k為貝努力數,

定理3 當 h足夠小,存在一個常數c,使得誤差,E→i=X→

(tj)-X→j,j=0,1,…,k,則有如下估計,

證明 由引理2,(4)式可以寫為,

則有,

由(8)式有,

這里,

當 h足夠小,使得 hL＜1,則,

由引理1、2知,

3 外 推

由引理2,(5)式可以寫為,

用(12)式減去(6)式得,

其中,

得到其逼近方程,

將(14)式帶入(13)式,消去Q→(tj),有,

由引理1,有,

所以,

以上結論意味著可以對算法采用理查德森 h2外推,

4 算 例

考慮如下非線性的二階微分方程第一類兩點邊值問題,

本例真解為,

分別取,

進行打靶,由算法1分別計算h=0.05與h=0.025時的誤差,做外推得如表1所示結果.

表1 計算結果與外推效果表

從表1數據可以看到,計算結果及外推效果是較為明顯的.

[1]余德浩,湯華中.微分方程數值解法[M].北京：科學出版社,2003.

[2]Lu T,Huang Y.Extrapolation method for solving weakly singular nonlinear Volterra integral equations of the second kind[J]. Mathematical Analysis and Applications,2006,324(1)：225-237.

[3]呂 濤,石濟民,林振寶.分裂外推與組合技巧[M].北京：科學出版社,1998：18-45.

[4]劉亞平.第一類弱奇異Volterra積分方程的超收斂技術[D].成都：四川大學,2006.

[5]欒世霞,孫欽福,高蘭芳.Banach空間二階常微分方程兩點邊值問題解的存在唯一性定理[J].曲阜師范大學學報,1999,25(1)：10-12.

[6]宋興光.Banach空間二階常微分方程兩點邊值問題迭代求解[J].應用數學,2000,13(2)：9-13.

Volterra Integral Equation Solution of Reverse Interpolating Obtained from Nonlinear Two-point Boundary Value

FU Yu1,2,XIAO Jihong1,LV Tao1

(1.School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu 610064,China; 2.School of Science,Sichuan University of Science and Engineering,Zigong 643000,China)

Parallel shooting method was used to transform the boundary problem into initial problem,further transform it into integral equations and seek its discrete solution by using trapezoid formula.In order to achieve better precision order,extrapolation techniques were used too.The problems of existence,uniqueness,convergence of the algorithm were discussed,and had good numerical results.

second order nonlinear differential equation;parallel shooting;reverse interpolating;extrapolation

O241.83

：A

2010-03-03.

付 宇(1981—),男,碩士研究生,從事微分方程數值解研究.