利用陣發(fā)混沌現(xiàn)象測(cè)定未知信號(hào)參數(shù)

翟篤慶 劉崇新 劉 堯 許 喆

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,西安 710049)

利用陣發(fā)混沌現(xiàn)象測(cè)定未知信號(hào)參數(shù)

翟篤慶?劉崇新 劉 堯 許 喆

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,西安 710049)

(2009年5月12日收到;2009年6月17日收到修改稿)

利用Duffing方程對(duì)頻率的極端敏感性產(chǎn)生陣發(fā)混沌現(xiàn)象,研究了一種利用該現(xiàn)象定量檢測(cè)未知的微弱周期信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù)的新方法,通過(guò)理論分析和實(shí)例仿真證明了該方法的可行性,并針對(duì)仿真結(jié)果提出了改進(jìn)措施,提高了檢測(cè)精度.

Duffing方程,陣發(fā)混沌,檢測(cè)信號(hào)參數(shù)

PACC:0545

1.引言

信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題是對(duì)未知信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù)的測(cè)定,包括頻率、幅值和相位,這在工程應(yīng)用中有著重要的實(shí)際意義.近年來(lái),混沌同步的思想被科學(xué)工作者們應(yīng)用于未知參數(shù)的辨識(shí)中.文獻(xiàn)[1]利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了不確定的Lü系統(tǒng)的混沌控制和參數(shù)辨識(shí).文獻(xiàn)[2]對(duì)一類不確定參數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出了自適應(yīng)同步方法.文獻(xiàn)[3—6]分別以不確定參數(shù)的Chen系統(tǒng)、超混沌Chen系統(tǒng)、Lorenz-like系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)為例,在實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步的同時(shí),辨識(shí)了未知參數(shù).文獻(xiàn)[7]則以Gray-Scott系統(tǒng)產(chǎn)生時(shí)空混沌,實(shí)現(xiàn)混沌同步和參數(shù)辨識(shí).文獻(xiàn)[8]利用自適應(yīng)法,實(shí)現(xiàn)了Duffing等系統(tǒng)的混沌同步和參數(shù)辨識(shí).文獻(xiàn)[9]研究了不確定Liu系統(tǒng)的混沌同步和參數(shù)辨識(shí).文獻(xiàn)[10]則把自適應(yīng)同步和參數(shù)辨識(shí)的原理和思想應(yīng)用到混沌保密通信中,獲得加密系統(tǒng)的參數(shù).這些成果不僅實(shí)現(xiàn)了不確定混沌系統(tǒng)之間的同結(jié)構(gòu)和異結(jié)構(gòu)同步,完善了混沌同步的理論,也為不確定系統(tǒng)的未知參數(shù)辨識(shí)找到了方法.但目前該方法的研究主要集中于自治系統(tǒng)的未知系數(shù)(包括非自治系統(tǒng)的周期信號(hào)的幅值)的辨識(shí),對(duì)于非自治系統(tǒng)的頻率和相位參數(shù),尚沒(méi)有行之有效的確定方法.本文針對(duì)Duffing方程,基于另一種思想,尋求找到確定Duffing系統(tǒng)中時(shí)間變量的頻率和相位參數(shù)的方法.另外,人們?cè)趯?duì)混沌理論的研究中發(fā)現(xiàn):一類混沌系統(tǒng)在一定條件下對(duì)小信號(hào)具有極端的敏感性而同時(shí)對(duì)噪聲具有很強(qiáng)的免疫力,這使得此類混沌系統(tǒng)在信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景.著名的Duffing振子就具有這種特性,當(dāng)其處于混沌分岔區(qū)域附近時(shí),對(duì)臨近頻率的微弱信號(hào)敏感而對(duì)強(qiáng)噪聲免疫.這使得該方法在強(qiáng)噪聲背景下同樣有效.文獻(xiàn)[11]在對(duì)Duffing系統(tǒng)的研究過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)了由于對(duì)頻率參數(shù)的敏感性,導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)而周期,時(shí)而混沌,像呼吸一樣時(shí)斷時(shí)續(xù),并且“呼”與“吸”都有固定的時(shí)間跨度,故稱其“breather”.文獻(xiàn)[12]提出了Duffing方程右側(cè)的周期策動(dòng)力幅值的敏感性,即存在某個(gè)臨界值,幅值稍大于該臨界值時(shí)就會(huì)呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài),小于該臨界值時(shí)則呈現(xiàn)混沌狀態(tài),并把對(duì)于該敏感性的檢測(cè)用于測(cè)定某已知頻率的信號(hào)幅值.文獻(xiàn)[13]通過(guò)計(jì)算周期狀態(tài)時(shí)一段時(shí)間內(nèi)的過(guò)零點(diǎn)次數(shù)來(lái)確定未知信號(hào)頻率.文獻(xiàn)[14]和[15]提出在Duffing方程右側(cè)加上策動(dòng)力頻率附近的微弱信號(hào)后,會(huì)產(chǎn)生陣發(fā)混沌現(xiàn)象,策動(dòng)力幅值會(huì)隨時(shí)間變化.當(dāng)幅值大于文獻(xiàn)[12]中的臨界值時(shí),呈現(xiàn)大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),小于該臨界值時(shí),呈現(xiàn)混沌狀態(tài),這樣就會(huì)出現(xiàn)時(shí)而周期,時(shí)而混沌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),把這種現(xiàn)象稱為陣發(fā)混沌現(xiàn)象.通過(guò)觀察該現(xiàn)象是否發(fā)生來(lái)判斷待測(cè)信號(hào)中是否存在與策動(dòng)力頻率相近的周期信號(hào).文獻(xiàn)[16]對(duì)一個(gè)帶有外部擾動(dòng)的Duffing方程進(jìn)行了詳盡的分析,包括其最大Lyapunov指數(shù)、分叉情況和陣發(fā)特性等.

在前人研究的基礎(chǔ)上,本文在Duffing方程的右端施加諧振擾動(dòng),產(chǎn)生陣發(fā)混沌現(xiàn)象,分析了擾動(dòng)后的系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況.通過(guò)對(duì)該現(xiàn)象的觀測(cè)和測(cè)定,確定施加的待測(cè)信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù),包括頻率、幅值和相位.仿真實(shí)驗(yàn)得到了較為精確的結(jié)果,證明了該方案的可行性,且對(duì)多頻信號(hào)同樣適用.

2.陣發(fā)混沌現(xiàn)象的理論分析和仿真

經(jīng)典的Duffing方程為

式中x(t)為狀態(tài)變量,k為阻尼比,fcos(t)為周期策動(dòng)力,-x(t)+x3(t)為非線性恢復(fù)力.改寫為如下動(dòng)力學(xué)方程:

當(dāng)k=0.3時(shí),改變參數(shù)f的取值,觀察系統(tǒng)的x-y相圖,會(huì)發(fā)生如圖1所示的狀態(tài)變化.使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變到大尺度周期狀態(tài)的參數(shù)f的臨界值Fc∈(0.53492,0.53493).從圖2所示分叉圖中也可看出狀態(tài)變化的臨界值范圍.

令t=ω τ,f=F0,(1)式可改寫為

在(3)式右側(cè)加上頻率ω附近的待測(cè)周期信號(hào)

對(duì)(4)式右側(cè)化簡(jiǎn)

其中

圖1 參數(shù)f改變引起的系統(tǒng)x-y相圖變化 k=0.3.(a)f=0.2,(b)f=0.35,(c)f=0.53492,(d)f=0.53493

圖2 Duffing方程x變量隨參數(shù)f變化的分叉圖 k=0.3.(a)f∈(0,10),(b)f∈(0.2,0.65)

觀察(5)式與(1)式,當(dāng)ω=1時(shí),二者差別在于(5)式中多出了一個(gè)參數(shù)相位角.文獻(xiàn)[17]討論了相位為隨機(jī)噪聲時(shí)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化的影響.這里的相位是與幅值相關(guān)的函數(shù),考慮其影響系統(tǒng)狀態(tài)的情況.

由(6)式得到

把(8)和(9)式代入(7)式中,令θ(τ)=g(F(τ)),得

圖3 F(τ)引起的x-y相圖變化 (a)F(τ)=0.5413((9)式取正號(hào)),(b)F(τ)=0.5414((9)式取正號(hào)),(c)F(τ) =0.537((9)式取負(fù)號(hào)),(d)F(τ)=0.5371((9)式取負(fù)號(hào))

取F0=0.52,A=0.1,k=0.3,ω=1,由(6)式考慮到F(τ)∈(F0-A,F0+A)=(0.42,0.62),觀察系統(tǒng)狀態(tài)變化情況(見(jiàn)圖3和圖4).發(fā)現(xiàn)存在臨界值Fc,當(dāng)(9)式取正號(hào)時(shí),Fc∈(0.5413, 0.5414),當(dāng)(9)式取負(fù)號(hào)時(shí),Fc∈(0.537, 0.5371),當(dāng)F(τ)>Fc時(shí),系統(tǒng)處于周期狀態(tài);當(dāng)F(τ)

由于F(t)的取值會(huì)隨著時(shí)間t變化,時(shí)而大于Fc,時(shí)而小于Fc,(10)式所描述的系統(tǒng)就會(huì)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)和周期狀態(tài)交替出現(xiàn)的情況,這就是陣發(fā)混沌現(xiàn)象.令F0=0.52,A=0.04,ω=1,Δ ω=0.01,通過(guò)時(shí)域信號(hào)圖可以清晰地觀察到陣發(fā)混沌現(xiàn)象(見(jiàn)圖5(a)).

圖4 (10)式中變量x隨F(τ)變化的分叉圖 (a)(9)式取正號(hào),(b)(9)式取負(fù)號(hào)

圖5 陣發(fā)混沌現(xiàn)象 (a)Δ ω=0.01,(b)Δ ω=0.05

這里需要注意的是Δ ω不可以過(guò)大或過(guò)小.過(guò)小時(shí),F(t)變化緩慢,導(dǎo)致陣發(fā)混沌現(xiàn)象的每個(gè)混沌狀態(tài)和周期狀態(tài)跨度過(guò)大,要檢測(cè)出相對(duì)頻差就需要大大增加采樣和計(jì)算的工作量;另外,由于系統(tǒng)完成狀態(tài)變化通常需要1個(gè)周期以上的時(shí)間,當(dāng)Δ ω過(guò)大時(shí),F(t)變化過(guò)快,系統(tǒng)完成相變的過(guò)程中沒(méi)有足夠長(zhǎng)時(shí)間的激勵(lì),系統(tǒng)無(wú)法很好地響應(yīng)如此快的變化,陣發(fā)混沌現(xiàn)象失去原有的規(guī)律性.通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn),我們一般取Δ ω∈(0.005,0.04).

3.利用陣發(fā)混沌現(xiàn)象測(cè)定待測(cè)信號(hào)參數(shù)

3.1.測(cè)定信號(hào)頻率

加上待測(cè)信號(hào)后的策動(dòng)力幅值f在臨界值Fc附近隨時(shí)間變化

若要檢測(cè)頻率ω′∈(ω1,ω2)的待測(cè)信號(hào),先選取合適的公比1+Δ ω,從ω1開(kāi)始以公比1+Δ ω取值作為周期策動(dòng)力的頻率,檢測(cè)陣發(fā)混沌現(xiàn)象是否發(fā)生,如果發(fā)生就用上述方法算出ω′,若一直沒(méi)有發(fā)生則說(shuō)明不存在該頻率區(qū)間內(nèi)的周期信號(hào).

3.2.測(cè)定信號(hào)相位

設(shè)當(dāng)cos(ω Δ ωt+φ)=a,a∈0,1時(shí),F(t) =Fc,則當(dāng)cos(ω Δ ωt+φ)>a時(shí),系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài),對(duì)應(yīng)圖6中的T1時(shí)間段;當(dāng)cos(ω Δ ωt+ φ)

設(shè)(4)式中的周期策動(dòng)力為F0cos(ωt+φ1),待測(cè)信號(hào)Acos(ω(1+Δ ω)t+φ2),二者相位差Δ φ =φ2-φ1,但F(t)和θ(t)均有變化

假設(shè)相位差Δ φ=0,當(dāng)t=0時(shí),cos(ω Δ ωt+ Δ φ)=1,F(t)=F0+A>Fc,隨著時(shí)間變化,t= T1時(shí),cos(ω Δ ωt+Δ φ)減小到a,F(t)從F0+A減小到Fc,系統(tǒng)從大尺度周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài).同樣的,如果cos(ω Δ ωt+φ)從a增加到1,相應(yīng)的F(t)從Fc增加到F0+A,對(duì)應(yīng)的,也需要時(shí)間T1.這樣,我們可以得到如下結(jié)論:當(dāng)時(shí),cos(ω Δ ωt+Δ φ)=1,系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)且正處于該狀態(tài)的時(shí)間中點(diǎn),即該狀態(tài)恰好完成了一半.圖7所示的仿真結(jié)果,以時(shí)間零點(diǎn)觀察,圖7(b)圖中零點(diǎn)恰好為周期狀態(tài)進(jìn)行到一半的時(shí)間點(diǎn),證明了該結(jié)論.

圖6 系統(tǒng)分別處于大尺度周期和混沌狀態(tài)的時(shí)間段

找出系統(tǒng)由混沌進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)的時(shí)間t1和由大尺度周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)的時(shí)間t2,,

待測(cè)信號(hào)相位φ2=φ1+Δ φ.

3.3.測(cè)定信號(hào)幅值

由圖6所示關(guān)系得

其中,T1,T2分別是大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間.

對(duì)于(11)式描述的幅值隨時(shí)間變化的函數(shù), F(t)=Fc為臨界值t為取到臨界值的時(shí)間點(diǎn),所以得到函數(shù)關(guān)系

通過(guò)仿真結(jié)果找到T1,T2的值,代入(16)式中,解該方程即可求得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ).

4.仿真實(shí)驗(yàn)

先預(yù)估信號(hào)頻率ω′∈(45,55),從ω=45開(kāi)始以公比1.03取值作為周期策動(dòng)力的頻率,直到觀測(cè)到陣發(fā)混沌現(xiàn)象,若沒(méi)有發(fā)生陣發(fā)混沌現(xiàn)象,則不存在該頻率范圍的周期信號(hào).圖8所示的是周期策動(dòng)力頻率取不同值時(shí)(周期策動(dòng)力相位取為0,幅值F0=0.53),x(t)的時(shí)域信號(hào).

圖7 Δ φ不同時(shí)的時(shí)域信號(hào)圖

圖8 不同ω時(shí)的時(shí)域信號(hào)圖 (a)ω=45,(b)ω=47.74,(c)ω=49.17

通過(guò)時(shí)域信號(hào)圖可以看出,ω=47.74時(shí)陣發(fā)混沌現(xiàn)象周期尚不明顯,ω=49.17時(shí)發(fā)生了明顯且有規(guī)則的周期性陣發(fā)混沌現(xiàn)象.以ω=49.17作為周期策動(dòng)力頻率,通過(guò)Matlab仿真結(jié)果(見(jiàn)表1)找出由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn).

表1 混沌狀態(tài)向大周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的仿真結(jié)果

通過(guò)比較定向過(guò)零點(diǎn)間距,可以看出自t= 3.29后過(guò)零點(diǎn)間距變化很小,且漸漸趨于穩(wěn)定,故認(rèn)為t=3.29時(shí)F(t)開(kāi)始超過(guò)Fc,判斷t=3.29為混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn).

同樣的方法找出t=11.08,18.81,26.10, 33.76,41.18,48.84,56.38,64.17,71.90也是混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn).求大周期的平均值T=7.62333,ω Δ ω=0.82420,待測(cè)信號(hào)頻率ω′=ω(1+Δ ω)=49.994.

通過(guò)仿真結(jié)果比較過(guò)零點(diǎn)間距(見(jiàn)表2),發(fā)現(xiàn)自t=8.49后過(guò)零點(diǎn)間距開(kāi)始逐漸失穩(wěn),故認(rèn)為t=8.49時(shí)F(t)開(kāi)始小于Fc,判斷t=8.49為大尺度周期狀態(tài)向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn),則t=5.89為大尺度周期狀態(tài)的時(shí)間中點(diǎn),因此按照3.2節(jié)中所述方法,待測(cè)信號(hào)相位

表2 大尺度周期狀態(tài)向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的仿真結(jié)果

同樣的方法找出t=16.03,23.50,31.17, 38.71,46.38,53.72,61.39,69.06,76.60,84.07也是大尺度周期狀態(tài)向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn),求出各個(gè)大尺度周期狀態(tài)的時(shí)間中點(diǎn),然后測(cè)定相位

求得平均值φ′=0.4931π.

大尺度周期狀態(tài)結(jié)束的時(shí)間(見(jiàn)表2)減去開(kāi)始的時(shí)間(見(jiàn)表1),得到大周期狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T1,多次求T1再求其平均值可得T1=4.994,混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T2=T-T1=2.629,代入(16)式中,解得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ)=0.5070.其中臨界值Fc= 0.537,周期策動(dòng)力幅值F0=0.53.

實(shí)例2 待測(cè)信號(hào)f′(t)=0.8cos(100t+π)

預(yù)估待測(cè)信號(hào)頻率ω′∈(90,110),周期策動(dòng)力頻率從ω=90開(kāi)始以公比1.03遞增,發(fā)現(xiàn)ω= 98.35時(shí)出現(xiàn)規(guī)則的陣發(fā)混沌現(xiàn)象.設(shè)定周期策動(dòng)力頻率為ω=98.35,步長(zhǎng)Δt選取為0.005,通過(guò)仿真結(jié)果找出t=4.335,8.105,12.09,15.71,19.6, 23.30,27.27,30.975,34.745,38.67為混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時(shí)間點(diǎn).求大周期的平均值待測(cè)信號(hào)頻率ω=ω(1+Δ ω)=99.997.

通過(guò)仿真結(jié)果找出t=7.335,11.07,14.97, 18.705,22.54,26.34,30.175,33.975,37.71, 41.61.多次求相位再求平均值得φ′=0.9087π.

大尺度周期狀態(tài)持續(xù)時(shí)間T1=2.94,混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T2=T-T1=0.875,代入(16)式中,解得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ)=0.8032.其中臨界值Fc= 0.537.

對(duì)于該多頻信號(hào),先檢測(cè)ω=50附近,設(shè)置周期策動(dòng)力頻率ω=49,周期策動(dòng)力幅值F0=0.53,通過(guò)仿真結(jié)果求得大周期平均值T=6.2844,ω Δ ω =0.9998,待測(cè)信號(hào)頻率ω′=ω(1+Δ ω)= 49.9998.多次求相位再求平均值φ′=1.4294π.大尺度周期狀態(tài)持續(xù)時(shí)間T1=3.871,混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T2=T-T1=2.4134,代入(16)式中,解得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ)=0.3923.

為了提高其他頻率分量的檢測(cè)精度,把ω=50的分量從原信號(hào)中減去,即f″(t)=f′(t)-0.3923cos(49.9998t+1.4294π).然后再檢測(cè)ω= 100附近,設(shè)置周期策動(dòng)力頻率ω=98,周期策動(dòng)力幅值F0=0.53,通過(guò)仿真結(jié)果求得大周期平均值T =3.1422,ω Δ ω=1.9996,待測(cè)信號(hào)頻率ω′=ω(1 +Δ ω)=99.9996.多次求相位再求平均值φ′= 0.9310π.大尺度周期狀態(tài)持續(xù)時(shí)間T1=1.8585,混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T2=T-T1=1.2837,代入(16)式中,解得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ)=0.3177.

f?(t)=f″(t)-0.3177cos(99.9996t+ 0.9310π),再設(shè)置周期策動(dòng)力頻率ω=195,周期策動(dòng)力幅值F0=0.53,通過(guò)仿真結(jié)果求得大周期平均值T=1.2442,ω Δ ω=5.0500,待測(cè)信號(hào)頻率ω′=ω(1+Δ ω)=200.0500.多次求相位再求平均值φ′=0.3044π.大尺度周期狀態(tài)持續(xù)時(shí)間T1= 0.7443,混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T2=T-T1= 0.4999,代入(16)式中,解得待測(cè)信號(hào)幅值A(chǔ)= 0.2303.

5.方法改進(jìn)

5.1.相位測(cè)量的誤差分析及改進(jìn)

通過(guò)實(shí)例仿真發(fā)現(xiàn)該方法測(cè)量相位的結(jié)果誤差較大,其原因如下:

1)系統(tǒng)從某個(gè)狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過(guò)程中,需要一定時(shí)間的激勵(lì),一般情況下需要超過(guò)一個(gè)周期的穩(wěn)定激勵(lì)才能發(fā)生狀態(tài)變化,使得測(cè)量結(jié)果較實(shí)際值有一定滯后.

2)該方法通過(guò)比較過(guò)零點(diǎn)間距判斷狀態(tài),決定了系統(tǒng)狀態(tài)的起始點(diǎn)只能在過(guò)零點(diǎn),而實(shí)際狀態(tài)變化則會(huì)在任意時(shí)間點(diǎn)完成,這也使得結(jié)果較實(shí)際值滯后.

3)(7)式中ω Δ ω決定了誤差大小,因此減小Δ ω,即減小每次搜索頻率的范圍,可以減小誤差.

表3是對(duì)實(shí)例2的參數(shù)進(jìn)行改動(dòng)后得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),表明了相位滯后的大小主要由ω Δ ω決定,受待測(cè)信號(hào)幅值和相位影響不大,因此在ω Δ ω測(cè)定后,可通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)估算出滯后相位的大小.測(cè)量結(jié)果加上該滯后相位,即可得到較精確的相位值.如實(shí)例3,可對(duì)滯后相位的大小求平均值Δ φ= 0.0994π,改進(jìn)后的相位測(cè)量值φ″=φ′+Δ φ= 1.0081π,大幅度提高了相位測(cè)量的精度.

表3 滯后相位與待測(cè)信號(hào)參數(shù)的關(guān)系

5.2.幅值測(cè)量方法的改進(jìn)

對(duì)待測(cè)信號(hào)幅值的測(cè)定,是建立在精確測(cè)得大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)的起始點(diǎn)的基礎(chǔ)上的,這樣才可以準(zhǔn)確得到大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間,代入(16)式中才能精確地求解出待測(cè)信號(hào)幅值.因此如何精確測(cè)出系統(tǒng)狀態(tài)起始點(diǎn),是提高幅值測(cè)量精度的關(guān)鍵.

1)離散化時(shí)盡量選擇較小的步長(zhǎng),如果步長(zhǎng)過(guò)大,則過(guò)零點(diǎn)間距的變化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化不夠敏感,影響狀態(tài)起始點(diǎn)的測(cè)量精度.但考慮到步長(zhǎng)過(guò)小會(huì)影響算法的效率,因此如何選擇步長(zhǎng),要視實(shí)際情況而定.

2)當(dāng)待測(cè)信號(hào)幅值較小時(shí),通過(guò)過(guò)零點(diǎn)間距來(lái)判斷系統(tǒng)狀態(tài)變化的方法可能會(huì)失效,因?yàn)橄到y(tǒng)在F(t)稍大于Fc時(shí),混沌狀態(tài)向周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)存在較長(zhǎng)時(shí)間的過(guò)渡過(guò)程(見(jiàn)圖9,觀察過(guò)零點(diǎn)間距,趨于等距要在兩個(gè)周期以后),而系統(tǒng)在該時(shí)間點(diǎn)停留時(shí)間內(nèi)無(wú)法完成狀態(tài)的變化,按照過(guò)零點(diǎn)間距的判定方法,誤認(rèn)為該狀態(tài)仍是混沌狀態(tài).另外,當(dāng)A-F0>Fc時(shí),(6)式中F(t)∈(A-F0,A+F0),系統(tǒng)將一直處于周期狀態(tài),陣發(fā)混沌現(xiàn)象消失.

表4是對(duì)實(shí)例3的幅值參數(shù)進(jìn)行改動(dòng)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),它反映了幅值過(guò)小或過(guò)大使得該方法失效的現(xiàn)象.因此使用該方法前,需保證待測(cè)信號(hào)幅值處于有效區(qū)間內(nèi),如果不滿足,則需先預(yù)估幅值,再放大或縮小使之處于有效區(qū)間.該區(qū)間由信號(hào)頻率ω′和周期策動(dòng)力頻率ω決定,可在測(cè)出頻率后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)確定.表4中ω=98,ω′=100.

圖9 F(t)=0.55時(shí)的時(shí)域信號(hào)圖

表4 幅值測(cè)量誤差與實(shí)際幅值的關(guān)系

6.結(jié) 論

本文提出了一種利用陣發(fā)混沌現(xiàn)象來(lái)檢測(cè)未知信號(hào)各項(xiàng)參數(shù)的方法,包括頻率、幅值和相位,從而完整地還原待測(cè)信號(hào).該方法的具體步驟如下:

1)將待測(cè)信號(hào)加到Duffing方程右側(cè),取合適的步長(zhǎng)對(duì)周期策動(dòng)力和待測(cè)信號(hào)之和進(jìn)行采樣.

2)在待測(cè)信號(hào)可能存在的頻率區(qū)間內(nèi)取合適的公比,按等比區(qū)間進(jìn)行遍歷搜索,若檢測(cè)到陣發(fā)混沌現(xiàn)象發(fā)生,則按3.1節(jié)所述方法確定信號(hào)頻率.

3)分別按照3.2節(jié)和3.3節(jié)所述方法測(cè)定待測(cè)信號(hào)幅值和相位.

4)對(duì)于多頻信號(hào),每次將所得前一頻率分量的信號(hào)從方程右側(cè)減去,再在下一個(gè)頻率分量可能存在的區(qū)間進(jìn)行搜索,如此重復(fù)上述步驟,確定所有頻率分量信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù).

理論分析和實(shí)例仿真都證明了該方法的可行性.Duffing方程的性質(zhì)決定了該方法具有以下特點(diǎn):

1)對(duì)信號(hào)中各頻率分量要先預(yù)估,可能存在頻率的區(qū)間要取到合適的公比進(jìn)行遍歷搜索,才能防止頻率的遺漏.相對(duì)頻率差一般取0.005<Δ ω< 0.04,過(guò)大或過(guò)小都會(huì)使陣發(fā)混沌現(xiàn)象消失,所以搜索時(shí)的公比也要取到該區(qū)間.

2)測(cè)定幅值之前也需要先進(jìn)行預(yù)估,然后對(duì)待測(cè)信號(hào)放大或縮小,使幅值處于有效區(qū)間內(nèi),該區(qū)間由周期策動(dòng)力頻率ω和待測(cè)信號(hào)頻率ω′決定,二者間相對(duì)頻差Δ ω越大,該區(qū)間也越大.幅值測(cè)定后,可以把測(cè)量結(jié)果從原信號(hào)中減去,判斷陣發(fā)混沌現(xiàn)象是否消失,若消失則證明結(jié)果正確.

3)由于系統(tǒng)狀態(tài)變化需要一定時(shí)間的激勵(lì)才能完成,導(dǎo)致相位的測(cè)量結(jié)果較實(shí)際值有不同程度的滯后,該滯后相位的大小主要由ω Δ ω決定,因此可以在測(cè)定頻率后通過(guò)仿真確定滯后相位的大小,加上測(cè)量結(jié)果,即得到較精確的相位值.

相較于混沌同步完成參數(shù)辨識(shí)的思想,本文的研究方法有以下優(yōu)點(diǎn):

1)速度快.一般在一個(gè)大周期后,如實(shí)例1,在t =11 s左右即可完成參數(shù)測(cè)定,而前者一般要40 s以上(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).

2)抗噪性好.一般可在信噪比達(dá)-100 dB以上的條件下檢出信號(hào)參數(shù)(見(jiàn)文獻(xiàn)[9]).

3)該方法能完整地測(cè)出待測(cè)信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù),這是目前前者所無(wú)法完成的,但在幅值和相位的測(cè)量精度方面還有待提高.

[1]LüJ H,Lu J A 2003Chaos Soliton.Fract.17 127

[2]Zhou J,Lu J A,LüJ H 2006IEEE Transactions on Automatic Control51 652

[3]Wang X Y,Wu X J 2006Acta Phys.Sin55 605(in Chinese) [王興元、武相軍2006物理學(xué)報(bào)55 605]

[4]Wang X Y,Wu X J 2008Int.J.M od.Phys.B 22 1015

[5]Wang X Y,Wang Y 2008Int.J.M od.Phys.B 22 2453

[6]Wang X Y,Li X G 2008Int.J.M od.Phys.B 22 4069

[7]LüL,Li Y,Guo Z A 2009Sci.Chin.Ser.G 39 77(in Chinese)[呂 翎、李 義、郭治安2009中國(guó)科學(xué),G輯39 77]

[8]Kim J H,Park C W,Kim E,Park M 2005Phys.Lett.A 334 295

[9]Hu J,ZhangQ J 2008Chin.Phys.B 17 503

[10]Ren H P,Han C Z,Liu D 2008Chin.Phys.B 17 1202

[11]Yang J G,Qu Z L,Hu G 1996Phys.Rev.E 53 4402

[12]Li Y,Yang B J,Shi Y W 2003Acta Phys.Sin.52 526(in Chinese)[李 月、楊寶俊、石要武2003物理學(xué)報(bào)52 526]

[13]Li Y,YangB J,Lin H B,Liu X H 2005Acta Phys.Sin.54 1994(in Chinese)[李 月、楊寶俊、林紅波、劉曉華2005物理學(xué)報(bào)54 1994]

[14]LiA,Wang S 2004Electr.Quality06 06(in Chinese)[李安、王 殊2004電子質(zhì)量06 06]

[15]Zhao X Y,Wei M X,Liu J H 2004Journal of Test and Measurement Technology18 16(in Chinese)[趙向陽(yáng)、魏明獻(xiàn)、劉君華2004測(cè)試技術(shù)學(xué)報(bào)18 16]

[16]Huang J C,Jing Z J 2007Chaos Soliton.Fract.40 1449

[17]Li S,Xu W,Li R H 2005Acta Phys.Sin.55 1049(in Chinese)[李 爽、徐 偉、李瑞紅2005物理學(xué)報(bào)55 1049]

PACC:0545

Deter m ination of the parameters of unknown signals based on inter m ittent chaos＊

ZhaiDu-Qing?Liu Chong-Xin Liu Yao Xu Zhe

(Institute of Electrical Engineering,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)

12 May 2009;revised manuscript

17 June 2009)

We use the extreme frequency sensitivity ofDuffing’s equation to produce intermittent chaos(we call it“breather”) and propose a new method to quantitatively detect the parameters of unknown weak periodic signals.The theoretical analysis and instance simulation have proved its feasibility.We also put forward a way to improve the detection results and enhance the accuracy.

Duffing’s equation,intermittent chaos,detecting the parameters of signals

?E-mail:zdq850831@sina.com

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