基于LMI的刨花板施膠魯棒H∞控制1)

郭繼寧 朱良寬 孫麗萍

(東北林業大學，哈爾濱，150040)

在刨花板的工業生產中，施膠量的多少以及施膠的準確性和均勻性直接影響著產品的質量和成本［1］。為達到按配方要求準確配比和按比例均勻施膠，近年來，國內一些科研機構和企業在刨花板施膠控制技術方面開展了多項研究。例如文獻［2］、［3］對調施膠應用技術進行了研究，通過分析調施膠工段的組成，對如何提高調施膠設備和應用技術水平，提出了新的看法，重點論述了PID控制和模糊自適應控制技術;文獻［4］中采用了先進的并行在線施膠工藝和設計，以及與工藝相適應的設備及控制系統等［2－4］。然而，文獻［2］－［4］控制的結果都是基于經驗估計、非線性系統的線性化、忽略干擾因素的情況下得出的。對于實際生產過程中的施膠系統，系統模型的不確定性和系統的一些干擾因素都無法忽略，因此以往的控制方法很難達到施膠系統的工藝要求及某些期望的性能指標。筆者針對上述問題，基于系統辨識出的施膠系統數學模型，并針對由設備老化、振動等因素引起的外界干擾及模型不確定性，采用魯棒H∞控制理論設計魯棒控制器，將其轉化為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)問題求其可行解，最后通過仿真對設計控制器的性能和控制品質進行了驗證。

1 刨花板施膠系統工藝及模型

刨花板施膠控制過程首先是設定刨花與膠液的配比，然后根據刨花流量的大小，確定施膠量;通過電磁流量計計量檢測施膠流量，并反饋控制施膠電機轉速，使施膠量隨刨花流量的變化而改變。

圖1為一種比較常用的刨花板施膠流量閉環控制流程圖。流量測量是將電磁流量計測量值和控制器的期望值進行比較，把誤差送給控制器，控制器為了保證誤差最小，需要不斷地調整電機轉速，從而達到不斷減小理想值與實際值之間誤差的目的。

圖1 刨花板施膠流量閉環控制流程

根據刨花板施膠過程的控制要求和流量范圍，其控制結構可能存在不同的動態特性。實際中的施膠系統開環特性是一個非線性系統，它的穩態增益和階躍響應隨著流量大小的變化而變化。然而，當流量在某一固定值附近小范圍變化時，刨花板施膠系統可以近似看作線性系統。

圖2 簡化的施膠控制系統開環模型結構

由于刨花板施膠過程工藝變化導致流量變化很大，故其開環系統控制模型一般在2～4階變化［5］。圖2為常用的開環模型結構，其中U代表電機的輸入電壓，Y1代表和流量傳感器的流量比例對應的電壓值，Y代表傳感器的流量輸出。K1和K2為系統的穩態增益，τ0、τ1和τ2為系統的時間常數。這樣的系統結構要根據實際設備的動態特性及工藝的變化進行調整，系統的傳遞函數表達式如下所示:

2 基于LMI的魯棒H∞控制

假定系統的狀態是可以通過直接測量得到的，那么可以根據要求設計一個靜態的狀態反饋器

使得相應的閉環系統

是漸進穩定的。如果使閉環傳遞函數Tzw(s)滿足

則稱具有這樣性質的控制律為閉環系統系統(2)的一個狀態反饋H∞控制律。

設廣義被控對象G的狀態空間實現為

定理1:對于系統(4)，存在一個狀態反饋H∞控制器，當且僅當存在一個對稱正定矩陣X和矩陣W，使得以下的矩陣［6］

小于0成立。進而，如果矩陣不等式(5)存在可行解X*和W*，則

為系統(4)的一個狀態反饋解。

根據以上原理，可為刨花板施膠系統設計滿足一定性能指標的狀態反饋控制器。

3 刨花板施膠魯棒H∞控制器設計及仿真

3.1 干擾抑制問題轉化為H∞標準設計問題

干擾抑制控制系統框圖如圖3所示。其中，G0為被控對象，K為控制器，v為參考輸入，y為量測輸出，d為外部干擾(量測燥聲)，u為控制信號。為了對系統進行魯棒控制，首先將其轉化成魯棒H∞的標準問題。

圖3 干擾抑制控制系統

假設干擾信號d屬于如下集合［7］:

其中，W(s)是穩定的實有理函數，稱為權函數，用來反映在期望頻段上對干擾的抑制能力。

可知

所要求解的問題是設計控制器K(s)，使閉環系統內部穩定，并且使Tyv(s)W(s)v的H∞范數最小。圖3干擾抑制控制系統中z=y，于是可以得出:

由此得出廣義被控對象的傳遞函數矩陣為

3.2 H∞狀態反饋控制器的求解與仿真分析

在已有實驗室設備基礎上，通過德國Endress+Hauser流量計得到不同輸入狀態下流量值。應用Matlab系統辨識工具箱對模型參數進行估計。

在刨花板施膠的中頻工況(輸入25、30 Hz激勵)，壓力的變化對施膠流量的變化影響較大，致使流速在一定范圍內波動，模型結構因施膠過程受外界擾動較多變得復雜，得到輸出量與輸入量之間的傳遞函數如下:

在輸入干擾信號d情況下，得到輸出量與輸入量之間的傳遞函數為

根據公式(8)—公式(11)，可以推導得出上述傳遞函數的廣義對象狀態空間系數矩陣分別為

利用Matlab中LMI工具箱的相關命令函數feasp()求解可以得到系統的狀態反饋矩陣為［8－10］:

將魯棒H∞控制器加入到控制系統中，得到系統的階躍響應曲線如圖4所示。

仿真結果可以看到:魯棒H∞控制階躍響應上升時間較快，超調量較小，系統響應的最大超調量為0.0556，穩定施膠時間4.2 s，所設計的控制器對施膠過程存在的外界干擾及模型結構不確定性具有很好的抑制作用，符合刨花板施膠的生產工藝要求。

圖4 魯棒H∞控制階躍響應曲線

4 結論

在實際生產過程中，針對施膠系統存在的結構性和參數不準確性的問題，建立了基于實驗數據的刨花板施膠模型，并在此基礎上推導了系統的廣義對象狀態空間表達式。同時針對系統中由設備老化、振動等因素引起的外界干擾以及模型建立誤差等問題，采用魯棒H∞控制理論設計魯棒控制器，將其轉化為LMI問題求其可行解。最后，通過Matlab軟件的LMI工具箱設計了刨花板施膠系統的魯棒H∞控制器。通過仿真可以看出，所設計的魯棒H∞控制器保證了系統的二次穩定，使控制系統指標達到了很好的效果，其響應上升時間較快，超調量較小的性能，符合刨花板施膠過程的生產工藝，為刨花板施膠的精準控制提供了一個很好的思路。

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