Joukowsky翼型繞流流場的計算網格劃分

李成植

(沈陽化工大學機械工程學院,遼寧沈陽 110142)

Joukowsky翼型繞流流場的計算網格劃分

李成植

(沈陽化工大學機械工程學院,遼寧沈陽 110142)

針對 Joukowsky翼型復雜的型線特點,推導微分法生成其繞流流場計算網格的公式,并采用 FORTRAN語言編寫計算機程序.結果表明:所生成的計算網格不但具有貼體的特征,同時還具有其環形網格線由里及表漸疏布局的特點,而這一特點正是符合黏性流體繞流流場的計算要求;另外,微分法所生成的網格系的輻射狀和環形網格線之間以及輻射狀網格線與翼型型線之間的正交性較好,有利于進一步提高數值計算精度.

Joukowsky翼型; 貼體網格; 微分法; Poisson方程

Joukowsky翼型是基于Joukowsky變換,由計算平面上圓心位于第二象限的偏心圓變換而來的翼型.計算其繞流問題,通常有 2種途徑,一種是通過保角變換法,另一種則是數值計算方法.保角變換法是基于計算平面的圓柱繞流和物理平面上的翼型繞流之間保角變換的特點,由已知計算平面上的圓柱繞流流場推算物理平面上的翼型繞流流場的方法.采用保角變換法的前提是在計算平面上能夠引入復位勢,但由于復位勢的實部是速度勢函數,所以,保角變換法只能適用于那些求解理想流體的繞流問題.在求解實際流體的 Joukowsky翼型繞流問題時,可采用數值方法進行求解.就目前而言常用的數值方法有有限元法、有限體積法和有限差分法.其中,有限元法因為對邊界的要求不是很高,所以越來越受到計算流體力學界的關注,而有限差分法和有限體積法較之有限元法而言其方法的物理意義比較明確,是人們進行流場數值仿真的傳統方法,其方法和理論也比較成熟.但無論是有限差分法,還是有限體積法,均對計算區域邊界形狀的要求高.例如 Joukowsky翼型等曲線邊界的情況,如采用傳統的方法進行網格劃分,則會有邊界網格節點不能落在物面上的情況出現.此時,只好采用線性或多項式插值(外推)的方法建立起邊界節點流動參數和物面流動參數之間的關系,并由物面的流動參數推算邊界節點上的流動參數.但其結果不但降低了計算的準確度,而且還增加了程序的復雜性.為避免傳統網格劃分方法所帶來的不便,在不規則計算區域的網格劃分中,可采用微分法生成貼體坐標的方法來生成計算網格.微分法生成網格,依據的是由 Laplace方程所定解的坐標變換,在其定義域內滿足最大值和最小值必定在該區域邊界上的特點[1].但是,Laplace方程定解的坐標變換不能滿足控制網格疏密度要求,而 Poisson方程定解的坐標變換,既有 Laplace方程定解坐標變換的特點,同時又能滿足控制網格疏密度的要求.

本文基于 Joukowsky變換設計 3款Joukowsky翼型,并用微分法生成Joukowsky翼型繞流流場的計算網格,為 Joukowsky翼型繞流的數值計算打下基礎.

1 Joukowsky翼型

Joukowsky變換可將計算平面上的圓心在 (c-acosβ,asinβ)點,半徑a=c(1+λ)secβ為的偏心圓變換到物理平面上的 Joukowsky翼型,其變換關系近似為[2]:

由 Joukowsky變換得到的 Joukowsky翼型最大的相對厚度和相對彎度分別為[2]:

基于(1)式由表 1所示數據為控制參數的 3款 Joukowsky翼型型線如圖 1所示.由圖 1可以看出:2#翼型不但具有一定的厚度而且還有一定的彎度,因此該款翼型既有一定的強度又能滿足產生一定升力的要求.相對于 2#翼型,1#翼型和3#翼型則分別顯得過于單薄和彎度不夠.

表 1 Joukowsky翼型控制參數和特性數據表Table 1 The control parameter and special property of Joukowsky’s airfoil

圖 1 Joukowsky翼型型線圖Fig.1 The thread of Joukowsky’s airfoil

2 微分法生成計算網格

根據黏性流體流動的特點,在 Joukowsky翼型繞流的數值計算中,必須要慮及邊界層的存在,而邊界層內流向的速度在邊界層厚度方向的方向導數大,因而在邊界層內黏性力與慣性力相當.在邊界層外的勢流區,流向速度在橫向的方向導數可視為是零,因而可以忽略黏性力的存在.為準確地刻畫黏性流體繞流 Joukowsky翼型的上述特點,所劃分的網格要求具有由翼型表面至無限遠處是由密漸疏的特點.而 Poisson方程定解的坐標變換能夠滿足控制網格疏密度要求,所以以 Poisson方程定解的微分方程來完成由規則的計算區域中的矩形網格到 Joukowsky翼型繞流區域的正交曲線網格系的變換,其變換方程和定解條件為[3]:

圖 2 變換原理圖Fig.2 The principle of change

利用差分法離散控制方程,則得計算物理平面上對應網格節點坐標的顯式迭代方程:

說明:以上差分方程左側為下一時刻的值,而右側則是采用該時刻的值;變換平面上縱、橫網格步長為 1.

采用 FORTRAN語言編寫(1)式和(3)式的計算機程序,在劃分網格的程序部分采用將物理平面上的計算網格從翼型后緣點處剪開,等ξ網格線是逆時針方向遞增排列的方案.

3 結果與分析

用 COORD INA TE CONV ERSION程序計算生成了如圖 1所示的 3款 Joukow sky翼型繞流流場的貼體網格,并采用 Tecplot軟件進行后處理,其結果如圖 3和圖 4所示.

圖 3 Joukow sky翼型繞流網格劃分圖Fig.3 The m esh of Joukawsky’s airfoil

圖 4 3#翼型迭代前、后前緣點附近網格對比圖Fig.4 Contrast figure betw een before iterative and after iterative for near the front-r im dot

由圖 3可以看出:初始的網格系統雖然是貼體的,但環形網格線,即η網格線卻是等間距布局的.基于這種等間距布局的網格系統進行數值計算時,為充分地刻畫邊界層內急劇變化的流向速度,只好在整個計算區域內加密環形網格線,即加大η網格線的密度.但這種全區域加密η網格線的舉措,對于進一步提高占據計算區域絕大部分的勢流區的計算精度不會有太多的幫助.顯而易見,為了加密邊界層內的網格密度付出了增加計算工作量的代價.而通過 Poisson方程定解的坐標變換法所生成的貼體坐標系,則通過適當地選取控制η網格線的參數Q,實現了η網格線在計算區域內由里及表漸疏的布局,在不增加計算工作量的前提下,滿足了加密翼型附近網格的要求.圖 4為迭代前、后 3#翼型前緣點附近的網格放大圖,從圖 4可以看出:經過迭代之后其網格線的正交性得到了極大地改善,其中輻射狀網格線,即ξ網格線與翼型型線之間正交性的改善尤為明顯.對于有限差分法和有限體積法,網格線之間正交性的這種改善,有利于進一步提高數值計算的精度.

4 結 論

基于 Joukow sky變換,生成 3款 Joukow sky翼型,并根據 Poisson方程定解的坐標變換在其定義域內最大值和最小值必定會在該區域邊界上以及能夠通過非齊次項控制網格疏密度的特點,生成了由 Poisson方程定解的微分網格系統.結果表明:所生成的微分網格系統,其最內部η網格線與翼型型線相重合的同時,η網格線分布是由里及表漸疏的非等間距分布,η網格線的這種布局迎合了黏性流體繞流流場的邊界層和勢流區內速度變化的特點,在不增加計算工作量的前提下,能夠提高計算的準確度.另外,Poisson方程所定解的微分網格系統的ξ和η網格線之間以及ξ網格線與翼型型線之間的正交性好,有益于進一步提高數值計算的精度.

[1] 章本照,印建安,張宏基.流體力學數值方法[M].北京:機械工業出版社,2003:248-251.

[2] 吳望一.流體力學 (下冊)[M].北京:北京大學出版社,1983:86-90.

[3] 周正貴.計算流體力學——基礎理論與實際應用[M].南京:東南大學出版社,2008:106-123.

The Mesh Generation of the Coil-flow Fields for the Joukowsky's Airfoil

L I Cheng-zhi
(Shenyang U university of Chem ical Technology,Shenyang110142,China)

Based on the complex shape-lines of the Joukowsky's airfoil,the coil-flow flow fields were got by using differential method and computer programs were w ritten in the FORTRAN language.The results showed that the computational mesh not only had a body-fitted feature,but also had a layout feature thatwas from the inside to outside.And the feature was in confor m ity with the requirements of the calculation of viscous fluid in the coil-flow flow field;Lastly,the mesh generated by differentiation method had a better orthogonally be tween the radial and the coil lines,as well as be tween the radial and the airfoil lines;this mesh is better for the accuracy of numerical calculation.

joukoaw sky's airfoil; body-fitted m esh; differentiation m ethod; poisson equation

TP39

A

1004-4639(2010)04-0356-04

2010-02-26

李成植(1964-),男,黑龍江尚志人,副教授,博士,主要從事流體力學及其相關學科的教學與科研.