計算電力系統電壓分叉點的新方法

井雨剛，李英秋

（1.山東電力研究院，山東 濟南 250002；2.山東達馳電氣有限公司，山東 濟南 250002）

計算電力系統電壓分叉點的新方法

井雨剛1，李英秋2

（1.山東電力研究院，山東 濟南 250002；2.山東達馳電氣有限公司，山東 濟南 250002）

基于電力系統動態模型，應用分叉理論提出了一種求解鞍結分叉、hopf分叉點的新方法。該方法的基本原理是，當動態系統參數緩慢變化時，在其平衡點的延拓過程中，首先檢測該平衡點流形的局部領域內系統的拓撲性質的改變，確定系統動態穩定性性態，然后應用插值法來確定更高精度要求的參數分叉值，典型電壓穩定模型的計算結果表明了此方法的有效性和實用性。

鞍結分叉；hopf分叉；仿連續法；動態電壓穩定

0 引言

電力系統是一個高度非線性的動態系統，電壓穩定性的研究是現代電力系統穩定分析中的一個重要組成部分，必然具有非線性的特征，因此應用非線性方法進行機理分析和防范措施的設計是很自然的。分叉理論作為分析非線性動力系統穩定性的基本方法，已經在電力系統電壓穩定問題中得到了廣泛的應用［1~6］。在電力系統中，所發現的分叉類型主要有鞍結點分叉（saddle-node bifurcation，縮寫為SNB）、霍普夫分叉（Hopf bifurcation）等。

目前，鞍結分叉點與系統電壓崩潰點的對應關系已經為大多數人所接受，常規電力系統電壓靜穩定性也正是以運行點與鞍結分叉點之間的距離來衡量。文獻［7］也較早指出鞍結分叉的災變性后果是電壓崩潰的內在原因。然而以往發生的一些事故經驗表明：在系統發生電壓崩潰前或崩潰的過程中，常會經歷電壓振蕩現象。這說明由于一些原因，系統在抵達鞍結分叉點之前會首先遇到動態分叉點。文獻［8］針對文獻［7］的模型，指出該系統也將發生Hopf分叉，且隨著負荷參數的進一步變化，系統將出現稱為blue-sky的災變現象，因此系統出現Hopf分叉也將是電壓失穩的開端。

目前尋找流形上分叉點的方法可以歸結為2類：①計算出所有隨控制參數變化的系統雅可比矩陣特征值，進而判斷是否有特征值穿越特征復平面的虛軸，以確定分叉點；②根據經典Hurwitz行列式符號變化，搜索判斷分叉點。很明顯，第一種方法由于要計算系統雅可比矩陣所有特征值，計算量大；而第二種方法對于高維情形，構造出特征多項式的系數本身就是一件十分困難的事情。本文利用分叉理論，基于電力系統動態模型用仿連續法追蹤解流形，而后將系統雅可比矩陣特征值復平面進行特定的映射變換，從而只需了解映射后特征復平面上的最大模特征值的表現，即可確定系統動態穩定性性態。

1 一般電力系統動態模型的數學描述

一般電力系統可用微分—代數方程組描述為式中：x表示系統微分狀態變量；y表示系統代數狀態變量；λ為控制參數。

所有滿足方程（2）的點（x0，y0，λ0）稱為系統（1）的平衡點

于是平衡解流形可以表示為

為了考察系統（1）的動態穩定性，在平衡點（x0，y0，λ0）處對式（1）線性化，以得到擾動方程

由式（3）進行消元，即可得到描述系統動力學特性的微分狀態方程組：

或簡記為

令

根據動力學知識，系統的動態穩定性完全可以由系統雅可比矩陣J的特征值確定。

2 確定動態系統平衡點分叉值的仿連續法

對于系統（1）為了考察系統動態穩定性，將其平衡解流形m上的點分類為：

a.正則點：當雅可比矩陣J（x0，y0，λ0）的特征值無零實部時，對應的平衡點稱為解流形m上的正則點。

b.鞍結分叉點：當雅可比矩陣隨著控制參數的變化，有一個特征值在復平面上沿實軸從左半平面穿越虛軸時（即雅可比矩陣有零特征根時）對應的平衡點稱為解流形m上的鞍結分叉點。

c.Hopf分叉點：當雅可比矩陣隨著控制參數的變化，有一對共軛復特征值在復平面上從左半平面穿越虛軸時（即雅可比矩陣具有一對零實部的共軛復特征值）對應的平衡點稱為解流形m上的Hopf分叉點。

延拓算法求取方程（2）的解流形m的方法是：用從初始點（x0，y0，λ0）出發的一點列（xi，yi，λi）來逼近該光滑曲線m。其中包括對點列（xi，yi，λi）進行預測、修正和步長控制等步驟。因而仿連續法確定動態平衡點分叉值的流程為：

1）設置迭代初始值i=0。

2）預測：從點（xi，yi，λi）出發給出曲線上的下一點（xi＋1，yi＋1，λi＋1）的預測值

3）修正：對上述預測值進行修正。

4）控制步長。

5）檢測解流形m在相鄰兩點間是否有分叉出現。如有，用插值法確定更高精度的參數分叉值。否則令i=i+1，轉步驟2。

下面對算法中的步驟2~5進行詳細的說明論述。

2.1步驟2

2.2 步驟3

記X＝（x，y），則解流形m可以表示為

本文采用正交平面連續法來構造方程G（X，λ） =0，即過預測值做過點（Xi，λi）的曲線m的切線的垂直平面，垂直平面與曲線的交點就是所求的精確值，所以其聯立方程組如下：

用Newton迭代法來求解聯立方程（8），迭代收斂值即為曲線m上的下一點（Xi+1，λi+1）。

2.3 步驟4

步長的選取是非常重要的，它可以直接影響到計算的成敗：如果步長取得過大則求取的曲線的精確度就會太低；如果步長選的過小，就會花費過多的時間。所以，我們采取控制步長的策略是：采用自動變步長的方式。所謂自動變步長就是指在迭代的過程中，按照一定的規律為之設定一個合適的步長，并且這個步長在整個迭代的過程中，根據情況不斷的變動，以適應求解的需要。例如，在步驟2的修正過程中，若Newton迭代在經過預先指定次的迭代后仍不能收斂，則須減小步長來重新修正。

將式（6）在（Xi，λi）處按照傅立葉級數展開，得

又因為F（Xi，λi），所以可得：

初始步長可以選取：

式中，k為一個經驗常數，根據系統的不同，確定其值。

2.4 步驟5

為了在追蹤解流形m的過程中能夠檢測與確定鞍結分叉和Hopf分叉點，需要構造一個判斷函數。為了避免計算雅可比矩陣J的所有特征值，引入變換：

其中，I為與J同階的單位矩陣。

不難證明Z，J矩陣的特征值具有如下的映射關系：

從上式可以看出，經過這樣的變換，將J的特征值所在復平面上的虛軸映射成Z的特征值所在復平面上的單位圓。下面來證明當Z的最大摸大于1時，則J的特征值就會有在復平面的右半平面的。設 μJ＝ε±iy

由式（14）可知，當ε<0時，｜μZ｜－1<0；反之｜μZ｜－1> 0。因此當系統處于穩定狀態時，Z的模小于1。隨著控制參數的變化，一旦J的特征值有一對共軛復特征值率先由左半平面穿越虛軸進入右半平面，則可以斷定矩陣Z有與之對應的一對共軛復特征值由單位圓內穿出單位圓。

反之若矩陣Z有一對共軛最大模特征值為：μZmax=α±iβ，可以由反映射式：

推得：

由式（15）容易看出：當矩陣Z的最大模特征值在單位圓內（即（α2＋β2）<1時），恒有 Re（μJ）<0成立。當μZmax率先穿出單位圓（即（α2＋β2）>1時），恒有Re（μJ）>0成立。因此令

當 φ（xi，yi，λi）·φ（xi＋1，yi＋1，λi＋1）≤0時，在這兩點之間的區間里發生了狀態的改變，必有一分叉點出現，當μZmax＝－1時，是鞍結分叉點，當只有｜μZmax｜＝1，則系統發生Hopf分叉。可用插值法在 （xi，yi，λi）和（xi＋1，yi＋1，λi＋1）之間確定更高精度的分叉點。

3 算例

利用本文所介紹的方法來確定如圖1所示的簡單系統的分叉點。網絡發發電機的參數同文獻［2］。該系統由一個負荷母線和兩個發電機母線組成，其中一個發電機母線被處理成松弛母線。

圖1 簡單電力系統

非松弛母線發電機2用如下的搖擺方程描述：

式中，M，D，Pm分別為發電機2的慣性常數、阻尼和機械輸入功率。將包含電容器C的電路進行戴維南等效，則其等效電壓V′0，等值電導Y′0，阻抗角θ′0分別為

本文節點3的負荷模型采用考慮靜態負荷和動態異步電動機負荷綜合組成，其描述方程如下：

式中，P0，Q0是異步電動機的恒定有功和無功功率；P1，Q1是恒P－Q負荷。

可得該系統的狀態方程為

系統微分狀態變量為：x=（δm，ω，δ，V）；控制參數選為：λ＝Q1。

用本文所述方法計算系統（18），初始點Q1＝10，此時系統（18）的平衡點為（δm，ω，δ，V）＝（0.2858165，0.0，0.1066416，1.22951939），計算得到的鞍結分叉點和Hopf分叉點如表1所示。

表1 鞍結分叉點和Hopf分叉點

從表中可以看出，系統經過了兩次Hopf分叉，在Q1=11.411時，發生鞍結分叉，系統崩潰。由此可以證實在考慮電壓動態穩定時，不能只考慮鞍結分叉，用此作為系統不穩定的判斷條件，而應該綜合考慮各種可能出現的動態分叉情況，從而真實的判斷系統何時發生電壓失穩。

下面我們綜合考慮P1，Q1變化時，系統發生分叉的情況。我們將計算所得的Hopf分叉點和鞍結分叉點的軌跡，投影到P1-Q1平面上如圖2所示。

圖2 雙參數分叉圖

從圖2可以看出，在參數P1從0開始的一定范圍內，Hopf分叉點有兩支。當給定有功負荷P1時，則隨無功負荷Q1的變化，系統將經歷2個Hopf分叉點，然后到達鞍結分叉點；隨著參數P1的不斷增大，這兩支Hopf分叉逐漸接近，最后重合，此時沿無功負荷的增長，只出現一個Hopf分叉點；而如果有功負荷再進一步增大，系統將不會出現Hopf分叉點，在鞍結分叉點系統失穩。

5 結論

重點論述了確定動態系統的Hopf分叉和鞍結分叉點的仿連續法的實現方法和技術。該法在確定分叉點時，只需了解映射后的矩陣的最大模特征值就可以確定系統的動態穩定性。它的計算量小，適用面廣。用一個典型的電力系統驗證了本方法的可行性和實用性。

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［5］彭志煒，胡國根，韓禎祥.電力系統負荷電壓穩定性研究［J］.電力系統自動化，1997，21（8）.

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A New Method for Computing the Voltage Bifurcation Point of Power System

Based on power system dynamic model，an effective method is proposed to solve the saddle-node bifurcation or hopf bifurcation point in this paper.The principle of this method is when the parameter of dynamic system varies slowly，its balance point is extended correspondingly.During this process，the dynamic voltage stability is determined by inspecting the alternation of the system topology character in the local range of balance point，and then the interpolation method is applied to further determine the value of parameter when bifurcation occurs.Numerical results of typical voltage stability model have shown that this method is effective and practical.

saddle-node bifurcation;hopf bifurcation;imitating continuation method;dynamic voltage stability

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TM712

A

1007－9904（2010）04－01－05

2010－03－25

井雨剛（1979-），男，碩士，工程師，主要從事繼電保護現場調試工作。