邁克耳遜干涉儀等傾干涉的計算機模擬

許建國,黃 鑒,翟 興

(昆明學院物理科學與技術系,昆明650031)

邁克耳遜干涉儀等傾干涉的計算機模擬

許建國,黃 鑒,翟 興

(昆明學院物理科學與技術系,昆明650031)

運用MATLAB的模擬功能,對邁克耳遜干涉儀的等傾干涉圖樣和強度計算機進行模擬,分析了等傾干涉強度與相關參數的關系;進而幫助讀者更加清晰地理解等傾干涉的性質和干涉理論.

干涉圖樣;MATLAB模擬;等傾干涉;干涉理論

1 邁克耳遜干涉儀光路

邁克耳遜干涉儀光路,如圖1所示.透射光束1″和反射光束2″相互平行[1],它們與M2的法線的夾角是θ,焦距為f的會聚透鏡把兩束平行光會聚于焦平面上的P點,P點與透鏡焦點O的距離為r.以焦點為圓心,r為半徑的圓上所有各點對應的兩束相干光具有相同的相位差.干涉條紋的形狀是以透鏡的焦點為圓心的一組同心圓環,每個圓環對應相同的傾角θ,形成明暗相間的等傾干涉條紋.

圖1 邁克耳遜干涉儀光路

2 等傾干涉強度的計算公式

設透射光束1″和反射光束2″的波長為λ0,振幅分別為ɑ和b,強度大小分別為I1和I2.由圖1的幾何關系和干涉理論可寫出下面的公式:

透射光束1″和反射光束2″的光程差為:

對干涉相長,干涉級次與干涉圓環半徑的關系為:

對干涉相消,干涉級次與干涉圓環半徑的關系為:

一個明條紋或暗條紋的角間距由下式表示[3],

負號表示當半徑r增加時,角間距減小,半徑r減小時,角間距增大.

若透射光束1″和反射光束2″的振幅相等,它們焦平面上的合振幅分布為:

它們在焦平面上的合光強分布為:

cos(k0△)為干涉項.調制度M=1.若振幅不相等,它們在焦平面上的合光強分布為:

調制度為:

考慮透射光束1″和反射光束2″的振幅相等,光源光譜為兩條無限窄的譜線(如鈉光的譜線λ1=589.0nm和λ2=589.6nm,平均波長為λ0=589.3nm)時,它們在焦平面上的合光強為:

交流項為2I0cos[(△k/2)△]cos(k0△),其中干涉項cos(k0△)被低頻項cos[(△k/2)△]所調制,調制度為:

若光源光譜為有一定帶寬度情況時,它們在焦平面上的合光強分布為:

交流項為2I0sinc[(△k/2)△]cos(k0△),其中干涉項cos(k0△)被低頻項sinc[(△k/2)△]所調制,調制度為:

3 計算機模擬流程

為了利用BATLAB軟件對邁克耳遜等傾干涉強度進行計算機模擬[4-6],需要對建模過程進行測試,其計算機模擬流程如圖2所示.以ɑ=1,b=3,d=0.25mm,f=100mm,λ=500.0nm為基本參數,模擬透射光束1″和反射光束2″在焦平面上強度疊加和干涉圖樣的情況,模擬的基本情況如圖3所示.從模擬結果看,三維空間振幅分布與強度疊加干涉圖樣非常形象逼真,二維平面圖像與實驗中看到的現象又是那么的熟悉.建模是合理的,很好地反映了振幅和強度在焦平面上的分布情況.

圖2 等傾干涉實驗計算機模擬流程

圖3 干涉強度分布和干涉圖樣的模擬

4 干涉條紋與各參數關系的模擬

從前面各個式子的分析可知,與干涉條紋形狀和干涉強度相關的物理參數有以下幾個:振幅ɑ和b,M1和M2之間的距離d,透鏡焦距f,光源的波長λ。下面,將就各個參數對干涉強度的影響進行計算機模擬和分析.假設透射光束1″和反射光束2″的振幅相等(ɑ=b),研究振幅相等時干涉強度、干涉條紋形狀與各參數之間的變化關系。以ɑ=1,d=0.25mm,f=100mm,λ=500.0nm為基本參數,進行作圖模擬.

4.1 干涉條紋與波長的關系

當入射角θ變化時,P點與透鏡焦點O的距離r也跟著變化;反之亦然。保持ɑ,b,f不變,使波長λ發生改變,其結果如圖4所示。最大強度為振幅的4ɑ2,干涉條紋在焦平面上呈明暗相間的穩定的不等間距的分布;隨著照射光源波長λ減小,干涉級次增加,干涉條紋間距變窄,中央條紋明暗也跟著發生了變化.

圖4 干涉強度與λ關系的模擬

4.2 干涉條紋與透鏡焦距的關系

為了得到干涉條紋與透鏡焦距的關系,維持ɑ,d,λ不變,讓f發生改變,模擬結果如圖5所示.從模擬結果明顯可以看出,透鏡焦距減小時,干涉級次增加,干涉條紋間距變窄,中央條紋的寬度也跟著變窄,但中央條紋的明暗沒有發生變化.條紋中央的明暗沒有變化,這很好理解,因為中央條紋對應著入射角為零的情形,它是干涉相長還是干涉相消完全取決于此時的光程差2d的數值.當2d等于λ/2的偶數倍時,干涉相長;當2d等于λ/2的奇數倍時,干涉相消.在上述模擬中,2d的數值沒有改變.因此,干涉條紋中央的明暗沒有變化.對這一變化,平時我們都沒有覺察到.因為我們用眼睛觀察,不可能注意到這種細微變化帶來的改變.

圖5 干涉強度與f關系的模擬

4.3 干涉條紋與M1和M2間距的關系

圖6 干涉強度與d關系的模擬

4.4 光源光譜對干涉條紋的影響

在兩相干光束強度相等的情況下,用調制度的大小來描述光源的相干性.M=1,干涉條紋最清晰(完全相干);M=0,干涉條紋完全消失(完全不相干);0

圖7 光源具有譜線和一定帶寬度對干涉強度影響的模擬

圖8 光源光譜對干涉項的調制

4.5 等傾干涉條紋的特點

選取參數d=0.25mm,f=100mm,λ=500nm,對式(3)、式(4)和式(6)作圖,可得出干涉級次j與入射角θ、干涉條紋半徑r的變化關系,如圖9所示.從圖9(1)可看出入射角為零時,干涉級次最高;隨著入射角增大,干涉級次逐漸降低.圖9(2)也有相似的趨勢,干涉圓環中央的半徑為零,干涉級次最高;隨著半徑增大,干涉級次也逐漸降低.然而,圖9(3)說明,一個干涉條紋(亮條紋或暗條紋)的角間距與半徑不是正比關系,總趨勢是隨著半徑逐漸增加,干涉條紋的角間距逐漸減小,干涉條紋變得越來越密.模擬結果告訴我們,等傾干涉的特點是干涉條紋從圓心中央向外的角間距越來越小,呈不等間距分布,等傾干涉條紋分布是中央寬,邊緣窄;干涉條紋從圓心向外,隨著半徑的增加,干涉級次逐漸降低.

圖9 干涉級次與入射角、半徑的關系

5 結束語

本文討論了利用計算機和MATLAB軟件模擬邁克耳遜干涉儀等傾干涉實驗的方法,以及相關參數變化對干涉強度和干涉相長或相消的影響進行了分析和探討,并討論了等傾干涉條紋的特點.這種處理方法,可以獲得干涉強度與光路中各種可調參數的關系,模擬結果能夠隨參數的變化而相應變化,而且處理過程的物理意義更加具體明確,因而是一種有效的方法.

參考文獻:

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[2]姚啟鈞.光學教程[M].北京:人民教育出版社,1981.

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[4]陳懷琛.MATLAB及其在理工科課程中的應用[M].陜西:西安電子科技大學出版社,2000.

[5]謝嘉寧,趙建林,陳偉成,等.夫瑯禾費衍射的計算機仿真[J].大學物理,2004,23(3):51.

[6]閔文強,李偉.高速運動物體視覺形象的計算機模擬[J].大學物理,2009,28(4):56.

[責任編輯 張燦邦]

A computer si mulation of interference of equal inclination forM ichelson interferometer

XU Jian-guo,HUANG Jian,ZHAI X ing
(Department of Physics Science and Technology,Kunming University,Kunming 650031,China)

The interference pattern and intensity distribution of equal inclination forMichelson interferometer is simulated withMatlab soft ware,and the relations between interference intensity and relevant parameters are analyzed. And this could help readers to understand the properties of equal inclination interference and the special theory of interference more clearly.

Equal inclination interference;Interference pattern;Matlab

book=8,ebook=158

O4-39

A

1008-9128(2010)04-0052-07

2010-05-23:

許建國(1963-),男,云南建水縣人,講師,碩士,主要從事普通物理學的教學和研究.