加工中心龍門磁懸浮高度的滑模－H∞控制*

劉春芳 安明偉 王麗梅

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110023）

加工中心龍門磁懸浮高度的滑模－H∞控制*

劉春芳 安明偉 王麗梅

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110023）

針對(duì)龍門數(shù)控加工中心中移動(dòng)橫梁的懸浮高度進(jìn)行了研究。在龍門移動(dòng)式數(shù)控機(jī)床中，可采用磁浮技術(shù)懸浮橫梁消除摩擦提高加工精度。為保持懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確性，提出了自適應(yīng)積分滑模控制器并結(jié)合魯棒H∞控制理論的控制方案。針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和未建模動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)了積分滑模變結(jié)構(gòu)控制器；為降低滑模控制器抖振的發(fā)生，采用自適應(yīng)控制對(duì)控制律的不確定值進(jìn)行估測(cè)；考慮到刀具切削部件引起的系統(tǒng)質(zhì)量變化以及外力干擾等對(duì)系統(tǒng)的影響，在控制中結(jié)合了H∞的控制理論，以增加系統(tǒng)的魯棒性。仿真研究結(jié)果表明，此控制器具有很強(qiáng)的抑制擾動(dòng)的能力和高剛度，可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

磁懸浮系統(tǒng) 反饋線性化 滑模變結(jié)構(gòu) 自適應(yīng)控制

隨著工業(yè)技術(shù)的進(jìn)步，磁懸浮系統(tǒng)應(yīng)用越加廣泛，而且多應(yīng)用于高精密用途。許多精密儀器及工業(yè)設(shè)備均使用磁懸浮系統(tǒng)，因此對(duì)于定位控制的精密度要求也越來(lái)越高。如何選擇有效的控制法則，使受控的磁懸浮系統(tǒng)達(dá)到要求，就成為精密定位控制的重要課題［1，2］。本文將磁浮技術(shù)應(yīng)用于龍門數(shù)控加工中心以電磁鐵和靜止導(dǎo)軌之間產(chǎn)生的吸力為基礎(chǔ)將龍門的橫梁懸浮在靜止導(dǎo)軌上方，同時(shí)采用永磁直線電動(dòng)機(jī)進(jìn)行推進(jìn)驅(qū)動(dòng)即能夠?qū)崿F(xiàn)高精度定位。

本文采用反饋線性化理論，將磁懸浮非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為特定的線性系統(tǒng)，再針對(duì)轉(zhuǎn)換的線性狀態(tài)進(jìn)行控制，來(lái)達(dá)成位置追蹤定位控制的目的。在控制器設(shè)計(jì)部分，本文先對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)出滑模控制器，然后再根據(jù)適應(yīng)控制理論針對(duì)滑模控制器的參數(shù)不確定值進(jìn)行估測(cè)。目的主要是降低滑模控制器抖振的發(fā)生，使所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模控制器有良好的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)，對(duì)系統(tǒng)所面臨的刀具切削引起的系統(tǒng)質(zhì)量改變以及外力擾動(dòng)等的抑制問(wèn)題，提出自適應(yīng)積分滑模控制器結(jié)合魯棒控制理論∞來(lái)抑制這種擾動(dòng)，以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。經(jīng)仿真驗(yàn)證得，此控制器能有效估測(cè)系統(tǒng)參數(shù)、具有小穩(wěn)態(tài)誤差及高魯棒性且能使系統(tǒng)達(dá)到精確定位及追蹤目的。

1 磁懸浮機(jī)床的單鐵動(dòng)力學(xué)模型及線性化方法

1.1 數(shù)學(xué)模型

龍門移動(dòng)式橫梁兩端垂直同步懸浮，除了要求懸浮的高剛度以外，還要保證懸浮的同步性、穩(wěn)定性和精確性。通過(guò)理論分析，可以得出磁懸浮機(jī)床的每一個(gè)電磁鐵都有獨(dú)立控制自由度。因此系統(tǒng)可以解耦為單電磁懸浮的控制問(wèn)題［3］。其動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

忽略鐵芯的邊際效應(yīng)（Field Fringing）及漏磁（Leakage Flux），忽略鐵芯和導(dǎo)磁物之間的磁阻，假設(shè)磁化曲線是線性的，認(rèn)為磁通密度及磁場(chǎng)強(qiáng)度在鐵芯及氣隙中都是均勻分布的。

因此單電磁鐵懸浮非線性動(dòng)力學(xué)模型方程為

式中：h（t）表示懸浮間隙；F（i，h）表示電磁吸力；m 表示懸浮橫梁的質(zhì)量；g為重力加速度；fd（t）為干擾；i（t）為控制線圈的電流；u（t）為控制線圈兩端的電壓；μ0=4 ×10－7為真空磁導(dǎo)率；S為鐵心面積；N為電磁鐵繞組匝數(shù)；k=μ0SN2/4是一個(gè)常量。

1.2 反饋線性化方法

那么非線性狀態(tài)空間方程可以寫(xiě)為

設(shè)線性狀態(tài)變量為z=［z1z2z3］T，又根據(jù)˙z=［?Φ（x）/?x］［f（x）+g（x）α（x）+g（x）β（x）υ］我們可以得到線性狀態(tài)空間方程

2 自適應(yīng)積分滑模魯棒控制器設(shè)計(jì)

在研究磁懸浮系統(tǒng)控制的過(guò)程中會(huì)遇到兩種不確定因素：第一種是系統(tǒng)的參數(shù)隨環(huán)境變化而造成的參數(shù)攝動(dòng)以及建模過(guò)程中被忽略的未建模動(dòng)態(tài)；第二種是懸浮刀具切削工件引起的懸浮體質(zhì)量改變以及外力擾動(dòng)［3］。

針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)在控制器設(shè)計(jì)上必須考慮磁浮系統(tǒng)中這些不確定性的影響，才能設(shè)計(jì)出抗擾性和魯棒性高的控制器。對(duì)此，本文設(shè)計(jì)了自適應(yīng)積分滑模魯棒控制器。

2.1 積分滑模控制器

設(shè)φu為受到的等效外力擾動(dòng)，則線性狀態(tài)方程式（6）變換為

式中：G為常數(shù)矩陣；v=v0+v1，v0為系統(tǒng)連續(xù)控制；v1為系統(tǒng)不連續(xù)控制。

由文獻(xiàn)［5］可知，任一矩陣 B∈Rn×m，若 rankB=m，則矩陣B可滿足特性

式中：B+為 B 的偽逆矩陣（Pseudo Inverse Matrix），B+=（BTB）－1BT；B⊥為 BT的零空間，B⊥∈Rn×（n－m）。

將系統(tǒng)總擾動(dòng)量φ寫(xiě)成以下形式φ=φm+φu，其中 φm≡BB+φ，φu≡B⊥B⊥+φ。這里 φm代表系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)、系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)等擾動(dòng)；φu代表刀具切削引起的懸浮橫梁系統(tǒng)質(zhì)量變化或受到的外力擾動(dòng)。

將式（10）微分，可得

將 v1以式（12）替代并代入式（9）得

其中矩陣 Γ =［I－B（GB）－1G］，等效干擾 φeq=Γφu。

從式（13）中得，擾動(dòng)φm已成功被消除，只剩下擾動(dòng)φu，因此必須借由調(diào)整矩陣G和設(shè)計(jì)v0來(lái)抑制由于質(zhì)量變化等引起的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

依據(jù)文獻(xiàn)［5］，可知當(dāng)G=B+時(shí)，可將等效干擾抑制到最小。此時(shí)‖Γ‖=1，φeq=φu。因此可將此結(jié)果帶到等效控制式（12）中，得

式（14）中僅包含φm，因此若想使用不連續(xù)控制v1補(bǔ)償φu將會(huì)使得系統(tǒng)穩(wěn)定性變得更不好。

這里使用不連續(xù)控制

其中ρ為切換增益。之后再以G=B+代入滑模函數(shù)，并微分一次，得

檢驗(yàn)式（16）穩(wěn)定性。定義Lyapunov函數(shù)為

將上式微分一次

其中ρ＞‖B+φ‖，故系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定。

2.2 自適應(yīng)估測(cè)法則

磁懸浮系統(tǒng)在定位控制以及追蹤命令時(shí)，會(huì)存在擾動(dòng)φm，且其不是固定不變的。這會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定抖振劇烈，無(wú)法精確的追蹤和定位。因此，根據(jù)自適應(yīng)控制原理設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)法則，估測(cè)滑模控制器控制律中切換函數(shù)項(xiàng)擾動(dòng)參數(shù)值的上界，以降低系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，使系統(tǒng)輸出能夠追隨輸入命令運(yùn)行。

因?yàn)槲唇?dòng)態(tài)或系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)擾動(dòng)的上界未知，因此假設(shè)此擾動(dòng)為有界函數(shù)，其上界為，｜φm｜≤。然后根據(jù)適應(yīng)控制原理設(shè)計(jì)的一個(gè)自適應(yīng)法則去估測(cè)此擾動(dòng)的上界ˉφm，其估測(cè)值為^φ。其自適應(yīng)估測(cè)法則為

其中β為自適應(yīng)增益，β＞0。

2.3 H∞控制

雖然前面所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)積分滑模控制器有良好的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差，但是只要系統(tǒng)質(zhì)量變化，即不確定因素φu存在時(shí)，則可能造成磁浮系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此針對(duì)式（13）中擾動(dòng)φeq=φu的抑制，本論文采用H∞控制理論來(lái)處理。

考慮下列系統(tǒng)式中z為所要調(diào)節(jié)的輸出，C和D分別為狀態(tài)和輸入的加權(quán)矩陣。這里的控制目標(biāo)是使擾動(dòng)w以及輸出z的轉(zhuǎn)移函數(shù)Tzw的H∞范數(shù)壓縮至最小。

接下來(lái)再按照H∞控制的設(shè)計(jì)方式，找出γ值。

式中γ=20.35時(shí)，可滿足式（21）。

求半正定對(duì)稱矩陣X，滿足代數(shù)Riccati方程式

可求出矩陣

若找出矩陣X，則控制器可設(shè)計(jì)為

再將式（15）與式（23）合并及應(yīng)用自適應(yīng)估測(cè)法則可得控制律

此控制律即是磁浮系統(tǒng)反饋線性化自適應(yīng)積分滑模魯棒控制的法則。其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

穩(wěn)定性分析：

定義Lyapunov函數(shù)為

則滿足穩(wěn)定理論。

3 仿真

為了實(shí)現(xiàn)機(jī)床高加工精度的目標(biāo)，將橫梁懸浮起來(lái)，要求所設(shè)計(jì)的滑模控制器能夠使橫梁穩(wěn)定地懸浮在2 mm處，并在有擾動(dòng)影響的情況下具有很強(qiáng)的魯棒性。根據(jù)上面所設(shè)計(jì)的控制器，利用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真［11］。系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

在仿真過(guò)程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和滑模面及控制率中的參數(shù)有密切的關(guān)系，要選取適當(dāng)?shù)膋和ε，才能達(dá)到較好的控制效果。圖3是滑模面和滑模運(yùn)動(dòng)的曲線圖。當(dāng)k=40，ε=5時(shí)，滑模面S=0以及系統(tǒng)到達(dá)滑模面和在面上的運(yùn)動(dòng)曲組線。

當(dāng)系統(tǒng)加入脈沖擾動(dòng)時(shí)，輸出響應(yīng)如圖4所示。在0.3 s時(shí)加入擾動(dòng)后，懸浮氣隙和懸浮位置誤差產(chǎn)生振蕩，在0.1 s內(nèi)又恢復(fù)穩(wěn)定，具有很強(qiáng)的魯棒性。

圖5是磁懸浮系統(tǒng)加入了階躍擾動(dòng)后的輸出曲線圖。圖5a的懸浮氣隙在受到干擾后，氣隙增加到2.18 mm左右，經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)又回到期望值。電磁線圈電流增加到8 A，在1.25 s時(shí)穩(wěn)定在7.33 A。

圖6是磁懸浮系統(tǒng)加入脈沖擾動(dòng)干擾后的懸浮氣隙和電流的輸出。圖6a為懸浮氣隙的輸出，可以看到振蕩很小，而且振蕩后可以快速回到給定值。圖6b為控制電流的輸出曲線圖，控制電流的振蕩稍大，但是也能快速回到給定的參數(shù)值。

滑模變結(jié)構(gòu)控制可保證系統(tǒng)穩(wěn)定，是一種魯棒性強(qiáng)、穩(wěn)定性好、超調(diào)小、響應(yīng)速度快的控制方法。滑模控制對(duì)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型不作精確的要求，在一定的范圍內(nèi)參數(shù)的攝動(dòng)不會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)影響，并能有效的抑制外加干擾。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在龍門移動(dòng)式數(shù)控加工中心中引入了磁懸浮技術(shù)，徹底消除了摩擦，并采用了基于反饋線性化的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法對(duì)磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制。但由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，在其運(yùn)行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生擾動(dòng)，為克服這些問(wèn)題，使用∞控制理論結(jié)合積分型滑模控制器的設(shè)計(jì)方式來(lái)加強(qiáng)控制器的魯棒性，并再利用自適應(yīng)控制理論來(lái)估測(cè)控制器參數(shù)，以減緩系統(tǒng)抖動(dòng)情形的發(fā)生。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明與傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋方法相比，無(wú)超調(diào)，響應(yīng)速度快且能夠有效地抑制干擾。系統(tǒng)的參數(shù)變化以及添加的外部擾動(dòng)對(duì)輸出的影響不大，即系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 楊霞，李強(qiáng)，郭慶鼎.基于數(shù)控機(jī)床進(jìn)給用磁懸浮直線電機(jī)摩擦的消除［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2005（7）

2 Jinunshian Phuah，Jianming Lu.Chattering Free Sliding Mode Control in Magnetic Levitation System［J］.IEEJ Trans EIS，2005，125（4）

3 王麗梅，石佳.基于反饋線性化的龍門數(shù)控機(jī)床磁懸浮系統(tǒng)滑模魯棒控制［J］.機(jī)床與液壓，2008，36（5）

4 王軍闖.NC機(jī)床磁懸浮進(jìn)給機(jī)構(gòu)研究［D］.大連交通大學(xué).2006.

5 F.Castanos，L.Fridman.Analysis and design of integral sliding manifolds for systems with unmatched perturbation［sJ］.IEEE Trans.Automatic Control，Vol.51，no.5，pp.853 －858，May 2006.

6 ［美］斯洛廷 J－JE，李衛(wèi)平.應(yīng)用非線性控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

7 王麗梅，石佳.龍門移動(dòng)式數(shù)控機(jī)床橫梁磁懸浮控制系統(tǒng)研究［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2008（2）

8 Z.J.Yang，M.Minashima.Robust nonlinear control of a feedback linearable voltage － controlled magnetic levitation system［J］.Trans.IEEJapan，2005，121（7）

9 梅生偉，申鐵龍，劉康志.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

10 P.Tsiotras and M.Arcak.Low －bias control of AMB subject to voltage saturation：state－feedback and observer design［sJ］.IEEE Trans.Control Systems Technology，vol.13，no.2，pp.262 －273，Mar.2005.

11 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［M］.清華大學(xué)出版社，2005.

如果您想發(fā)表對(duì)本文的看法，請(qǐng)將文章編號(hào)填入讀者意見(jiàn)調(diào)查表中的相應(yīng)位置。

Sliding Mode－H∞Control of Magnetic Levitation Used in Gantry Machining Center

LIU Chunfang，AN Mingwei，WANG Limei
（School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110023，CHN）

The levitation rigidity of gantry NC machine tool was studied.The magnetic levitation technology is adopted for the moving crossbeam of the gantry NC machine tool in order to eliminate friction and increase machining precision.Adaptive integral sliding mode controller with∞method is further proposed to achieve steady levitation.In this paper，the adaptive control is used to improve the chattering behavior.And the random disturbance can be suppressed by the control with∞method.Finally，the experimental result shows this system has powerful ability of suppressing disturbance and high rigidity.It can achieve steady levitation.

Magnetic Levitation System；Feedback Linearization；Sliding Mode Variable Structure Control；Adaptive Control

TP273

A

* 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50805098）

劉春芳，1975年生，女，副教授，博士，從事伺服系統(tǒng)、魯棒控制及計(jì)算機(jī)仿真等方面的教學(xué)、科研工作。

p

2009－07－14）

10125