導航用海洋重力異常圖的孔斯曲面重構方法

李姍姍,吳曉平,趙東明

信息工程大學測繪學院,河南鄭州450052

導航用海洋重力異常圖的孔斯曲面重構方法

李姍姍,吳曉平,趙東明

信息工程大學測繪學院,河南鄭州450052

基于地球重力物理場連續的特性,將計算機構圖中的孔斯(Coons)曲面建模引入到導航用海洋重力異常圖的加密重構中,建立不同邊界曲線的雙一次Coons曲面和雙三次C1Coons曲面重力異常模型。通過對實驗區數據計算分析,結果表明基于Coons曲面建立的重力異常模型精度均優于移動曲面擬合模型;同時利用現有全球SRTM30″plus海深數據,借鑒于間接內插的思想,以布格異?；贑oons曲面進行重力異常圖的重構,與空間重力異常直接建模相比,精度整體提高25%。

重力異常圖;雙一次Coons曲面;雙三次C1Coons曲面;布格異常

1 引 言

水下重力輔助導航是利用重力場信息來修正慣導隨時間積累的定位誤差。它要求首先將重力異常分布圖存儲在導航系統中,然后再依據重力傳感器觀測的重力場特征值通過最優化方法和卡爾曼濾波技術與重力圖數據進行搜索匹配,以使水下潛器確認、跟蹤、到達預期目的點,從而實現水下潛器的精確導航[1-2]。

在水下重力輔助慣性導航中,重力圖一般是以規則格網的數字形式事先存儲于匹配計算機中,以格網中點重力異常值表征。而水下潛器沿航跡方向的重力傳感器的采樣,即用于匹配的重力異常觀測量并不一定是格網中點的重力值,以其作為格網平均重力異常進行重力圖的搜索定位而發生的誤匹配的概率隨著代表誤差的增大而提高。根據亨特代表誤差經驗公式[3]

其中,E、C為代表誤差和代表誤差系數;x、y是格網邊長。顯然在同等水下地理環境下,重力圖格網分辨率越大,則代表誤差越大,發生誤匹配的幾率也越高。目前國內外利用 Geosat、Seasat、ERS-1和T/P等衛星測高數據依據逆Stokes公式、逆Vening-Meinesz公式基于 FFT算法建立了海洋區域2′×2′的格網重力異常模型[4-7],從式(1)可以近似地估計出當海洋區域重力異常格網分辨率提高至0.2′×0.2′時,代表誤差大約降為原來的1/3,誤匹配發生的幾率也隨之降低。因此高精度、高分辨率海洋重力異常圖的獲取是進行準確匹配定位的前提。

1967年美國麻省理工學院Coons S A提出了一種曲面分片、拼合造型的思想[8]。它是一種通過連接若干曲面片構造并組成任意復雜曲面的建模方法,每個曲面片由給定的四條邊界曲線組成,由于與上、下、左、右四個相鄰曲面片有公共線及公共點,因此能夠保證曲面間的光滑拼接。與Bézier曲面、B樣條曲面相比,其優點在于能夠通過線構造曲面形成精確連續的平滑曲面[9]。由于重力異常物理場具有連續分布的特性,因此本文將在現有2′×2′格網數據的基礎上基于Coons曲面提出一種新的導航用海洋重力異常模型插值重構的方法。

2 雙一次Coons曲面重力異常模型

設有二元函數 f(x,y),區域Ω是分辨率為d的矩形格網單元,(x,y)∈Ω。如果Coons曲面插值于 x、y兩個方向的四條邊界曲線fx0、fxd、f0y、fdy,如圖 1,則由此確定的雙一次 Coons曲面為[8-11]

其中,

插值算子取為一次線性函數

Coons曲面可以是由任意類型的四條邊界曲線所構造的曲面,本文采用拉格朗日插值多項式構造四條邊界曲線方程。

圖1 邊界曲線構成的曲面單元Fig.1 Curved surface cell constructed by boundary curves

如果四條邊界曲線分別過相應的已知格網兩點的重力異常值,則由拉格朗日插值公式可得

將式(3)代入Coons曲面模型中,得

代入線性插值算子,式(4)整理為

顯然該模型實質等價于雙線性重力異常內插模型,因此可以說雙線性內插模型是Coons曲面重力異常模型的特例。

同理,如果四條邊界曲線分別過相應的已知格網三點的重力異常值,則可得邊界曲線為二次曲線的Coons曲面重力異常模型

記為Coons model-A。

如果四條邊界曲線分別由四個格網點所對應的重力異常值求得,則可得三次曲線的Coons曲面重力異常模型

記為Coons model-B。

加權二次曲線是通過過不同三點的兩條二次曲線的加權平均來獲取邊界曲線方程。相對于三次多項式曲線,盡管也用到四點重力異常,但曲線方程的冪次卻降低了一次。對于高次多項式而言,無疑避免了由于次數太高而產生的龍格現象。邊界曲線為加權二次曲線的Coons曲面重力異常模型為

記為Coons model-C。

3 基于Coons曲面的海洋重力異常圖數據的重構

已知某海域重力異常網格間距2′×2′,如圖2所示。取其中1°×1°范圍的重力異常作為實驗區域,利用前面建立的4種雙一次Coons曲面重力異常模型進行0.2′×0.2′重力異常圖數據的重構,結果如圖3所示。

圖2 某海域2′×2′重力異常變化/(10-5ms-2)Fig.2 Variations of 2′×2′ocean gravity anomaly /(10-5ms-2)

圖3 不同Coons曲面重力異常模型建立的0.2′×0.2′網格重力異常Fig.3 0.2′×0.2′grid gravity anomaly constructed based on different Coons curved surface

為了定量評價內插結果,利用不同Coons曲面以及移動二次曲面最小二乘擬合(曲面擬合所用點數與Coons model-B相同)建立的0.2′×0.2′網格重力異常模型,均采用加權平均求取2′×2′格網節點處的重力異常值,以節點處已知重力異常作為真值,兩者求差,進行精度評定,結果見表1。

表1 不同Coons曲面重力異常模型精度Tab.1 Accuracy of different Coons curved surface /(10-5ms-2)

從表1可以看出,Coons曲面重力異常模型精度均優于移動曲面重力異常模型精度。這是因為Coons曲面重力異常模型是基于同側格網點重力異常,依據重力異常起伏變化趨勢構造最佳逼近曲線擬合重力異常剖面曲線,進而以最佳逼近曲線為邊界曲線來調控整個插值曲面的形狀與趨向,這與移動曲面直接基于離散格網點擬合構造重力異常模型相比,相當于在離散格網數據的基礎上追加了一定的邊界條件,因而使得精度有所提高;同時由于Coons model-A、Coons model-B、Coons model-C較之于雙線性內插增加了已知網格點數,因而內插精度有所改進。但基于拉格朗日多項式建立的邊界曲線方程,當所用網格點數越多,則冪次越高,有可能產生震蕩現象,因此可采用加權等手段適當地降低冪次,既保證精度的提高,又可保證多項式的穩定。

4 基于海深數據的重力異常圖數據重構

因為空間重力異常與地形具有強相關性,所以可以考慮采用與地形相關性弱的布格異?；蚓猱惓磉M行曲面建模以提高精度。目前海洋區域已建立了30″×30″海深數據模型,與全球陸地SRTM地形數據一起形成了全球SRTM30″plus地形數據模型。因此基于高于現有海域重力異常2′×2′分辨率的地球物理信息-海深數據來獲取更高分辨率及更高精度的重力異常模型從理論上來說是可行的。在海洋重力學中,布格異常表示為[12]

式中,ΔgB、Δg表示布格異常和空間異常;G是萬有引力常數;δ、δ0是地殼平均密度與海水密度;h為測點水深;h′為瞬時潮高;最后一項很小,一般予以忽略。

此外由于由回聲測深儀獲取的水深測量值受聲速的影響,在水深3 000 m的海區引起布格異常的變化有3×10-5ms-2左右,因此還要加入相應的聲速改正。此次用于實驗的海深數據改正式為[12]

圖4是SRTM30″plus提供的實驗區30″× 30″的海深數據,其變化態勢與實驗區空間異常的變化態勢(見圖2)基本一致,海深數據變化劇烈的區域相應的空間異常也變化劇烈。圖5是依據式(9)計算的實驗區布格異常,明顯受海深影響小,變化比空間異常平緩的多。

圖4 實驗區30″×30″海深數據/mFig.4 30″×30″ocean depth data/m

圖5 實驗區布格異常/(10-5ms-2)Fig.5 Bouger gravity anomalies/(10-5ms-2)

圖6是利用4種Coons曲面重力異常模型建立的 0.2′×0.2′網格布格異常。根據圖 6與式(9)可以得到圖7。顯然圖7與圖3相比,重力異常圖的細部特征更為明顯,且比較表1、表2,基于海深數據的Coons曲面重力異常模型的精度整體約提高了25%。當曲面變化趨勢平緩時,移動曲面擬合精度與雙線性內插精度相當,但本文移動曲面擬合所用的已知格網點數是雙線性內插所用點數的3倍,因此從性效比而言,仍認為Coons曲面重力異常模型精度優于移動曲面重力異常模型精度。

圖6 利用4種Coons曲面重力異常模型建立的0.2′×0.2′網格布格異常/(10-5ms-2)Fig.6 0.2′×0.2′grid Bouger anomaly using 4 Coons curved surface/(10-5ms-2)

圖7 基于海深數據利用4種Coons曲面重力異常模型建立的0.2′×0.2′網格重力異常/(10-5ms-2)Fig.7 0.2′×0.2′grid gravity anomaly using 4 Coons curved surface based on ocean depth data/(10-5ms-2)

表2 基于海深數據的4種Coons曲面重力異常模型精度Tab.2 Accuracies of 4 Coons curved surface gravity anomaly based on ocean depth data /(10-5ms-2)

5 雙三次C1Coons曲面重力異常模型

5.1 雙三次C1Coons曲面

雙三次C1Coons曲面插值于四條邊界曲線及邊界曲線的跨界切矢。設給定的插值條件為四條三次邊界曲線 fx0、fxd、f0y、fdy及 fdy以及四條邊界曲線跨界切矢 dyfx0、dyfxd、dxf0y、dxfdy,如圖8,則由此確定的雙三次Coons曲面為

其中,

圖8 邊界曲線及邊界曲線跨界切矢Fig.8 Boundary curves and their crossing boundary tangent vectors

令插值函數為三次埃尓米特基函數

顯然相比于雙一次 Coons曲面,雙三次C1Coons曲面的相鄰小的兩曲面之間除了有公共線與公共角點外,還必須保證跨界切矢、扭矢在四個角點處滿足相容性[8]。

5.2 邊界曲線跨界切矢的確定

根據Farin G給出的確定雙三次Coons曲面片邊界曲線跨界切矢的方法[13],利用四個角點的跨界切矢與跨界扭矢值來生成四條邊界曲線的跨界切矢。

5.3 角點跨界扭矢值的確定[14]

采用使曲線 R(u)和U(s)的應變能最小的原則來確定函數值Q,得

代入式(13),可求出 R(u)與U(s)。因此四個角點的扭矢分別為

5.4 雙三次C1Coons曲面重力異常模型

邊界曲線采用拉格朗日插值三次多項式,由此所得的基于埃爾米特插值算子雙三次C1Coons曲面重力異常模型

記為C1Coons model-D。

5.5 實驗數據計算分析

取某海域20′×20′范圍的2′×2′重力異常,利用雙一次Coons曲面和雙三次C1Coons曲面重力異常模型進行0.2′×0.2′重力異常圖的重構,結果如圖9、表3所示。

圖9 雙一次Coons曲面和雙三次C1Coons曲面重力異常模型建立的0.2′×0.2′網格重力異常Fig.9 0.2′×0.2′grid gravity anomaly using bilinear Coons and bi-cubic C1Coons curved surfaces

表3 雙一次Coons曲面和雙三次C1Coons曲面重力異常模型精度Tab.3 Accuracy of grid gravity anomaly using bilinear Coons and bi-cubic C1Coons curved surfaces /(10-5ms-2)

雙三次C1Coons曲面重力異常模型,因為各個相鄰小曲面之間除了有公共邊界與角點外,還保證了跨界切矢與扭矢在四個角點處的相容性,因此比雙一次Coons曲面重力異常模型的插值精度高。從表3可以看出,其建立的重力異常模型精度比雙一次Coons曲面重力異常模型精度約提高了10%。

6 結 論

建立精度與密度均滿足要求的海洋重力異常圖是將重力無源導航應用于實際需解決的關鍵問題。本文在現有海洋2′×2′重力圖數據的水平下,提出了基于Coons曲面的海洋重力異常圖重構方法,建立了雙一次和雙三次Coons曲面重力異常模型,較之于移動曲面擬合,精度均得到了有效提高;研究了先利用30″×30″海深信息建立0.2′×0.2′Coons曲面網格布格異常,再減去布格改正的影響從而得到0.2′×0.2′網格空間異常,與空間異常基于Coons曲面的直接建模,精度整體提高了25%。同時通過實驗計算發現:對于重力異常變化劇烈的海域,較為適宜采用二次加權曲線的雙一次Coons曲面重力異常模型,在保證精度的同時又避免了基于拉格朗日多項式的邊界曲線方程出現龍格現象;雙三次C1Coons曲面較之于雙一次Coons曲面雖然計算精度有所提高,但涉及曲線跨界切氏與扭氏的計算,建模速度較慢,不適合進行大區域海洋重力異常圖的加密重構。

值得指出的是,建立高精度、高分辨率的導航用重力異常圖,一個好的數學推值方法固然重要,但觀測數據本身的質量、分布及疏密程度也是決定重力異常圖精度的重要因素。目前獲取海洋重力數據的主要手段有衛星測高、航空和船載重力測量,各種測量數據的處理以及相互融合手段也是獲取理想觀測數據質量及分布結構的重要研究問題。一個好的數據結構結合一個好的數學方法,有望得到更高精度及分辨率的海洋重力異常圖,從而提高重力輔助慣性導航的匹配精度。

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(責任編輯:叢樹平)

Coons Curved Surface Reconstruction Method of Marine Gravity Anomaly Map for Navigation

LI Shanshan,WU Xiaoping,ZHAO Dongming
Institute of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China

Based on the continuation property of the Earth’s gravity field,the Coons curved surface modeling of computer graphics was introduced into the reconstruction of the marine gravity anomalies map for navigation,and both the bilinear Coons curved surface gravity anomaly model and bi-cubic C1Coons curved surface gravity anomaly model for different boundary curves were established.Through the analysis of data within experimental area, results showed that the accuracy of gravity anomaly model based on Coons curved surface was better than that based on moving surface fitting model.Based on the global SRTM30″plus oceanic depth data,the reconstruction of gravity anomaly map based on Coons curved surface using Bouger anomaly was made,and the accuracy was improved by 25%compared with the direct modeling using free air gravity anomalies.

gravity anomaly map;bilinear Coons curved surface;bi-cubic C1Coons curved surface;Bouger anomaly

LI Shanshan(1970—),female,associate professor,PhD candidate,majors in physical geodesy.

E-mail:zzy_lily@sina.com

1001-1595(2010)05-0508-08

P223

A

全國優秀博士學位論文作者專項基金(200344);國家自然科學基金(40774031)

book=515,ebook=262

2009-09-23

2010-04-05

李姍姍(1970—),女,副教授,博士生,研究方向為物理大地測量。