受承臺(tái)和埋深影響的沉井水平位移計(jì)算

劉 鵬，殷永高，孫敦華，周正明（．中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 43007；．安徽省高速公路總公司，合肥 3005）

受承臺(tái)和埋深影響的沉井水平位移計(jì)算

劉 鵬1，殷永高2，孫敦華2，周正明1
（1．中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071；2．安徽省高速公路總公司，合肥 230051）

在樁的線彈性地基反力法基礎(chǔ)上，求出考慮承臺(tái)以及埋深影響的沉井水平位移的通解，即在沉井計(jì)算中，經(jīng)常遇到的地面處水平抗力不為0時(shí)新的計(jì)算方法。并對(duì)沉井的邊界條件作出了數(shù)學(xué)上的歸納總結(jié)，它們涵蓋了在實(shí)際中可能遇到的大多數(shù)情況。推導(dǎo)出了對(duì)應(yīng)于每種工況的顯式表達(dá)式，并利用安徽馬鞍山長(zhǎng)江大橋的實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所求得的顯式解的數(shù)學(xué)上的正確性和力學(xué)上的合理性。所得出的公式對(duì)長(zhǎng)樁、短樁、細(xì)樁、粗樁以及沉井樁都適用。承臺(tái)對(duì)沉井（樁）的約束體現(xiàn)在樁頂?shù)倪吔鐥l件中。

彈性解；樁；沉井；承臺(tái)

1 概 述

根據(jù)Poulos和Davis［1］研究，樁水平方向上的最大偏移是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在。目前國(guó)際上通用的計(jì)算方法主要分為3類(lèi)［2］：

第1種方法是單樁的彈性解法，這種方法在分析土和樁之間的相互作用時(shí)，使用“地基反力”這個(gè)概念［3］。土的反力和樁變形的比值被稱(chēng)為土的水平反力系數(shù)Es。我們已經(jīng)有了當(dāng)Es隨深度變化為常數(shù)的解［3］，當(dāng)Es隨深度線性變化的解［4］，和Es隨深度非線性變化的解［5］。

第2種方法是非線性Py法［6］，當(dāng)土變形較大時(shí)，將會(huì)呈現(xiàn)非線性。因此，在不同深度下如何獲取Py曲線就成了關(guān)鍵所在。我們一般通過(guò)試驗(yàn)或解方程組的辦法來(lái)獲得。Matlock［7］提出了軟黏土的Py曲線計(jì)算方法，Reese［8］提出了硬黏土的Py曲線計(jì)算方法，Cox和Reese［9］提出獲得Py曲線的試驗(yàn)方法。Py曲線法的優(yōu)點(diǎn)在于它能適用于很廣泛的土的類(lèi)型和真實(shí)的加載條件，得到的結(jié)果與實(shí)際也吻合得較好，充分考慮了土的非線性。缺點(diǎn)在于Py曲線法把土分割成一個(gè)個(gè)離散的單元，并且把土壓力轉(zhuǎn)化成了節(jié)點(diǎn)荷載；另一個(gè)不足是在實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算的輸入輸出費(fèi)時(shí)費(fèi)力。在實(shí)際工程中，我們需要一種更簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。

第3種方法是由Evans和Ducan提出的特征荷載法（CLM）［10］，這種方法和非線性Py法的結(jié)果相近，但計(jì)算速度更快。但在對(duì)CLM法的計(jì)算結(jié)果使用上，我們必須十分小心，通常在用CLM法求位移時(shí)，最好先有一組在所求地層條件下的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值與CLM法計(jì)算所得結(jié)果作對(duì)比，證明方法和所取參數(shù)可行，再推廣應(yīng)用。

在實(shí)際工程中，樁的線彈性地基反力法因?yàn)槠浜?jiǎn)單容易計(jì)算的特點(diǎn)，在技術(shù)人員的設(shè)計(jì)與評(píng)估中仍有廣泛的應(yīng)用。只要參數(shù)選取合理，此法有較好的精度。本文在借鑒樁的線彈性地基反力法的基礎(chǔ)上，考慮地面處水平抗力不為0，求出了適合于沉井應(yīng)用的修正解法。并將受承臺(tái)約束沉井的邊界條件歸納成3種，推導(dǎo)出了其表達(dá)式。

2 樁（沉井）的撓曲微分方程［11］

設(shè)置于土中的豎向彈性樁，地面處承受橫向荷載（水平力H0和彎矩M0），因此，樁頂產(chǎn)生橫向（側(cè)向）位移y0和轉(zhuǎn)角φ0（樁身受有水平分布荷載珋q（z）作用）。由于荷載作用，樁將發(fā)生撓曲，支撐樁的彈性介質(zhì)（土）將產(chǎn)生連續(xù)分布的土反力。假定樁上任意一點(diǎn)z處單位樁長(zhǎng)上的反力珋p＝珋p（z，y）。若忽略由于樁撓曲引起的豎向摩擦力，則各截面僅有水平向地基土反力。

現(xiàn)截取樁身的一個(gè)微分單元，單元兩側(cè)分別作用分布荷載珋q（z）和土反力珋p（z，y），上截面作用剪力Q（與y軸同向）和正彎矩M（順時(shí)針向），下截面作用負(fù)剪力Q＋d Q和負(fù)彎矩M＋d M（見(jiàn)圖1）。由單元體上水平力之和為0的平衡條件可推得

圖1 設(shè)置于土中的彈性樁Fig．1 Elastic pile in soil

這就是結(jié)構(gòu)物基礎(chǔ)主動(dòng)樁（沉井）的基本撓曲微分方程。

3 土水平反力系數(shù)修正表達(dá)式

設(shè)置于彈性介質(zhì)中的彈性樁，假定樁側(cè)地基土為線彈性體，這里采用常用的線彈性地基反力法。假定樁側(cè)土為溫克爾（Winkler）離散線形彈簧，不考慮樁土之間的粘著力和摩阻力，任一深度z處，樁側(cè)土反力與該點(diǎn)水平位移y成正比，表示為

式中，地基土水平反力系數(shù)kh（z）隨深度變化的表達(dá)式有不同的假定［12］。在本文中，我們假設(shè)地基土反力系數(shù)隨深度呈線形增長(zhǎng)，變化趨勢(shì)與m法相似，但是在地表處k的值不為0，即在一個(gè)常數(shù)基礎(chǔ)上的線性增加，表達(dá)式為：kh（z）＝k（z＋c0），k為比例系數(shù)；c0為地表處的kh／k的值，也可以看作是埋深；z為深度。公式改寫(xiě)為

式中：2r為樁的寬度，r為樁的半徑；E為樁的彈性模量；I為樁截面慣性矩；EI為抗彎剛度。

這種土反力系數(shù)的形式，考慮了土的粘聚力和埋深的影響。在樁基計(jì)算中，對(duì)c0的處理一般是忽略。但在本文所基于的馬鞍山長(zhǎng)江大橋中，沉井的直徑尺寸遠(yuǎn)大于一般的樁，且由于工地表層土為軟黏土，所以在實(shí)際計(jì)算中需要單獨(dú)考慮，以便滿(mǎn)足實(shí)際的需要，也為了反映出它的影響。

4 樁（沉井）撓曲微分方程的求解

采用冪級(jí)數(shù)法求解偏微分方程（3），設(shè)

把方程（4）代入方程（3），由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等和邊界條件，可得：

所以，式（8）可以寫(xiě)成

因式（6）可以寫(xiě)成

亦可以改寫(xiě)為

對(duì)（17）式所求的導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)成A1，B′1，C′1，D′1，E′1，……A4，B″4，C″4，D″4，E″4的值，在沉井情況下，可以事先算出，用的時(shí)候直接查表即可。求參數(shù)的時(shí)候，要使用換算深度h′＝αz，h″＝βz。

根據(jù)參數(shù)表列出的參數(shù)，我們可以通過(guò)公式計(jì)算出我們所需要的參數(shù)值，然后代入公式（18）就可以用來(lái)求我們需要的位移和力。

5 三組邊界條件的顯式解

在考慮承臺(tái)的約束作用和埋深的影響的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合在實(shí)際計(jì)算中遇到的考慮承臺(tái)約束的沉井的邊界條件，歸納成了3種，推導(dǎo)出了其顯式表達(dá)式，以便于應(yīng)用。

工況1：沉井的底部立于巖石中，或沉井的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，底部轉(zhuǎn)角比較小，承臺(tái)的轉(zhuǎn)角φ0范圍可以估測(cè)時(shí)，得

上面所提到的的3種，是在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常使用的。對(duì)于其它工況，只要從本文推導(dǎo)的公式出發(fā)，可以一一求出。

6 工程實(shí)例

我們利用求出的顯式表達(dá)式，來(lái)計(jì)算安徽馬鞍山長(zhǎng)江大橋錨碇的水平向位移。表1為沉井的幾何尺寸，表2為此種工況下的計(jì)算模型參數(shù)。

表1 沉井和錨碇的幾何尺寸Table 1 The geometry size of the caisson and anchorages

表2 計(jì)算模型參數(shù)Table 2 Themodel parameters of calculation

算例1：當(dāng)沉井受到30 000 t水平力，由于承臺(tái)的作用，井頂轉(zhuǎn)角為0．2°，在綜合考慮承臺(tái)的約束作用和樁的幾何參數(shù)后，我們選用第2組條件的顯式解，在這里我們?nèi)1和φ1近似為0。圖2為計(jì)算出來(lái)的樁長(zhǎng)取35 m時(shí)所對(duì)應(yīng)的水平向位移關(guān)系曲線。

算例2：在受到與算例1相同的水平力，同樣幾何尺寸的沉井長(zhǎng)度為48 m，井頂轉(zhuǎn)角為0．05°，0．1°，0．15°時(shí)，圖3為計(jì)算得到的各條水平向位移關(guān)系曲線。

圖2 樁長(zhǎng)為35 m時(shí)沉井軸向的水平向位移關(guān)系曲線Fig．2 Axial horizontal displacement curve of the caisson w ith 35meterlong pile

圖3 48 m樁長(zhǎng)沉井軸向水平位移曲線Fig．3 Axial horizontal displacement curves of the caisson w ith 48meterlong pile

算例3：在受到與算例1、算例2相同的水平力，同樣幾何尺寸的沉井，井頂轉(zhuǎn)角為0．2°，長(zhǎng)度為48 m，埋深為5m時(shí)（C0＝5 m），圖4為計(jì)算出的水平向位移關(guān)系曲線。

圖4 不同埋深沉井軸向水平位移曲線Fig．4 Axial horizontal displacement curves w ith different dep ths

由圖4，我們可以清楚的看出當(dāng)沉井埋深取不同值時(shí)，沉井的水平井頂位移有較大變化，埋深為5 m時(shí)的水平向位移比埋深為0 m的水平向位移小了60%以上。

7 結(jié) 論

本文推導(dǎo)的簡(jiǎn)化理論計(jì)算公式，考慮了承臺(tái)埋深的影響，給出了常用邊界條下的顯式解。公式簡(jiǎn)單，便于設(shè)計(jì)咨詢(xún)業(yè)界應(yīng)用。所得出的公式對(duì)長(zhǎng)樁、短樁、細(xì)樁、粗樁以及沉井樁都適用。計(jì)算得出了與理論預(yù)測(cè)相符的變形曲線，計(jì)算結(jié)果也有很好的精度。

［1］ POULOS H G，DAVIS E H．Pile Foundation Analysis and Design［M］．New York：Wiley，1980．

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［12］劉金礪．樁基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與計(jì)算［M］．北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，l991．（LIU Jinli．Pile foundation design and calculation［M］．Beijing：China Building Industry Press，1991．（in Chinese） ）

（編輯：趙衛(wèi)兵）

Horizontal Displacement of Single Pile Constrained by Buried Platform

LIU Peng1，YIN Yonggao2，SUN Dunhua2，ZHOU Zhengming1
（1．State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanical，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China；2．Anhui Expressway Holding Group Co．，Ltd，Hefei 230051，China）

A general elastic solution for single pile constrained by buried platform was derived to calculate the horizontal displacement，the shear stress and the bendingmomentof the pile．The specially explicit solutions for several boundary condition groupswhich aremerged into three group scenarios are presented．Three examples are presented to highlight themathematical correctness and themechanical rationality of the obtained solutions．The solutions are applicable to both short and long piles and even caissons．

elastic solution；pile；caisson；platform

TU411．3

A

1001－5485（2010）07－0041－06

20090926；

20100105

劉 鵬（1985），男，山東青島人，碩士，主要從事工程力學(xué)及計(jì)算土力學(xué)研究，（電話(huà)）13100621398（電子信箱）liupengreal＠sina．com。