引力場中的高斯定理在計算煤矸石重量方面的應用

李顥

（山西大同大學工學院，山西大同 037003）

引力場中的高斯定理在計算煤矸石重量方面的應用

李顥

（山西大同大學工學院，山西大同 037003）

文章根據引力場與靜電場的相似性，提出了計算地球內質點所受引力的新方法，即引力場中的高斯定理.并利用此法計算了井下煤矸石的萬有引力.

引力場 高斯定理 重量

煤礦工人采煤時，常常需要搬動由頂板掉落下來煤矸石.許多礦工說：煤矸石在井下似乎比在地面上重.有人用萬有引力定律作這樣的解釋：井下煤矸石離地心近，所以引力就大；在地面，煤矸石離地心遠，所以引力就小.這種解釋是不妥的.

萬有引力定律，只有當兩物體的大小比它們之間的距離小得很多時，方能成立.換言之，萬有引力定律只適用于質點.星體雖然很大，但滿足上述條件，故能直接應用.地球表面和礦井里的石塊不滿足上述條件，故一般不能直接應用.

為了計算礦井里的煤矸石究竟多重，嚴格來說，應該把地球和煤矸石劃分成許多小質元，把每個小質元當成質點，然后應用萬有引力公式，求地球上第i個小質元與煤矸石上第j個小質元之間的引力

而這兩個物體間的引力就是這些引力的矢量和

即使把煤矸石當成質點，地球看成均質球體，上式可簡化為：

這一計算仍然十分冗長和繁難.本文從引力場與靜電場的相似性出發，對如何計算礦井里的煤矸石重量提出一種新方法——引力場中的高斯定理.

1 引力場中的高斯定理

為了確定電場的強弱和方向，我們引入了電場強度的概念：在電場中某點處單位試驗電荷所受的電場力，即

在確定引力場中各點的強度時若把質量為m的質點放在引力場中某一點時，它受到的引力為Fg，則Fg／m就表示單位質量的質點在該點所受到的引力[1]，它是一個與物體質量無關的物理量，叫做該點的引力場強度，用g來表示，即

引力場強度也是矢量，它的方向與引力Fg的方向相同.由引力場強度的定義式可得地球表面附近的引力場強度為

我們可以在引力場中定義出一系列與靜電場一一對應的物理量，如引力線、引力場強度、引力場強度通量等，并仿照靜電場中的高斯定理

推出引力場中的高斯定理

其中，g為引力場強度，G為引力常量，ρ為地球密度，d s為高斯面的面積元矢量，d V為地球的體積元.

上式的意義是：通過任一閉合曲面的引力場強度通量，等于該曲面所包圍的所有質元質量的代數和乘以4πG，這就是引力場中的高斯定理.

2 應用引力場中的高斯定理計算礦井中煤矸石的重量

設地球半徑為R，質量為M，井下煤矸石距地心距離為r，且地球質量分布均勻.由地球的對稱性可知，距地心距離為r的球面處場強大小處處相等.故以地心為球心，r為半徑作一球面，即高斯面.

根據高斯定理有

設煤矸石質量為m（視作質點），則煤矸石所受地球的萬有引力為

即煤矸石在礦井中所受的重力大小.

3 結論

由引力場的高斯定理可得：

（1）地球里的質點所受地球的引力，平方反比關系不成立，而是與質點離地心的距離成正比，即

這種力也屬于保守力.并且可以推知，當r＝0時，即地心處的質點所受地球的萬有引力的合力為零（或不受力）.

（2）在地球表面附近，r＝R時，有

即我們所熟知的萬有引力公式.

（3）在地面以上h的高空，我們做半徑r＝R＋h的高斯面，根據引力場的高斯定理可得引力場強度為

即質量為m的質點在此處受到的引力為

煤矸石在地面所受重力大小為

在井下所受重力大小為

由于r＜R，故煤矸石在地面要比在井下重.礦工覺得它在井下重，是因為r≈R，井上井下重量近乎相等.設礦井深200m，則地面的重量是井下重量的1.000 03倍，這樣小的誤差，一般是測不出來的.但礦工在井下勞動比較疲勞，且勞動場所狹窄，故產生此種錯覺.

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Gauss Theorem in the Gravitational Field to Calculate the CoalGangue＇sGravitation in the Coal Pits

LIHao
（School of Engineering，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037003）

Accoding to the similarities of gravitational field and electric field，illustrated by calculating the coal gangue's gravitation in the coal pits，Gauss theorem in the gravitational field is presented to calculate themass points'sweight in the Earth.

gravitational field；Gauss theorem；weight

O441.5

A

〔編輯石白云〕

1674－0874（2010）01－0079－02

2009－12－10

李顥（1963－），女，山東臨沂人，助理實驗師，研究方向：物理實驗.