改進曲線積分和曲面積分的教學──形象的微元和向量

孫銘娟

（解放軍信息工程大學理學院 數理系，河南 鄭州 450002）

改進曲線積分和曲面積分的教學──形象的微元和向量

孫銘娟

（解放軍信息工程大學理學院 數理系，河南 鄭州 450002）

本文嘗試對多元積分的教學加以改進，從微元和向量的角度，突出曲線積分和曲面積分的物理意義與幾何直觀.

曲線積分；曲面積分；微元；向量

1 背景及本文主要內容

微積分在一百多年前就已經奠定，內容非常成熟.傳統的講述方式只注重數學上的嚴格與精確，而忽略了物理直觀與幾何直觀，從而導致計算煩瑣，學生不易理解與掌握.事實上，在微積分的教學中，對概念的直觀理解與計算是同等重要的，只有突出物理意義與幾何直觀，才能將各種實際問題迅速轉化成數學問題，用微積分的知識加以解決.因此，在21世紀的今天，對微積分的教學，尤其是多元微積分的教學，必須加以改進.

實際上，國內外學者對微積分的教學一直在不斷改進，新觀點的教材層出不絕.國內的如龔昇教授的《簡明微積分》把ε-δ，ε-N的定義推后，用直觀的語言講解微積分的主要內容.國外的如哈佛大學的《單元微積分》和《多元微積分》例子豐富，強調生活實際，很有新意.

龔昇教授的《簡明微積分》給筆者極大的啟發.在數學教學中，直觀形象與數學嚴格是一對矛盾.在適當的時候，增添一些直觀，犧牲一點精確，非常有利于對數學的理解和應用.由此，筆者嘗試在多元微積分的教學中，著意突出多元積分的物理直觀，而把一些嚴格的數學推導置后講解.這樣做，能使學生對多元微積分有著形象深刻的理解，從而便于應用.

本文首先利用微元的思想，即線元，面元，體元來統一處理曲線積分和曲面積分，并強調其向量形式，同時對多元積分的定義及計算的教學加以改進，最后還要對格林公式，斯托克斯公式，高斯公式加以“物理”證明，與物理說明.

2 多元積分的定義和計算

在多元積分中，由于生活空間是三維的，因此，三元以內的積分是最重要的.在三維空間中，基本的幾何單位是長度，面積，體積.與此對應，我們用線元ds，面元dS，體元dV等微元觀點來統一處理各種積分.具體說，即用線元處理第一類曲線積分、第二類曲線積分；用面元處理二重積分、第一類面積分、第二類面積分；用體元處理三重積分.同時，由于向量形式便于理解和記憶，我們還把第二類線積分、第二類面積分寫成向量形式.

2.1 第一類線積分，第二類線積分

貫穿第一類線積分，第二類線積分的是線元的概念，我們對定義分別加以敘述，闡述對定義的理解和積分的計算.

2.1.1 第一類曲線積分

（1）引例與定義：設曲線形鐵絲C的線密度為數量函數f(x,y,z)，求其質量.把曲線C分成n段△s1，△s2…，△sn，第i段的質量近似為f(xi,yi,zi)，當所有小段的最大長度趨向于零時，總質量

由引例給出第一類曲線積分的定義，并把條件補充完整，強調第一類曲線積分是特殊的和式極限（以下定義都是同樣方法給出）.

（2）計算：當曲線有參數形式c(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[a,b]時，曲線c(t)的弧長微元，此時，

2.1.2 第二類曲線積分

（1）引例與定義：設一單位質點在力場F中沿曲線C運動，計算F對質點做的功.用s0,s1,…,sn把曲線C分成n段，F在第i段即從si-1到si上所做的功近似為F(si)·△si△s1，△si為從si-1到si的向量，當劃分越來越細,小段的最大長度趨向于零時，總功為

（2）計算：若曲線C的參數形式為c(t)，ds的參數形式為c'(t)，此時

第二類和第一類曲線積分本質上沒有區別，由此出發，還可以有別的線積分，比如，fds（f是數量函數）等等.

2.2 第一類曲面積分，第二類曲面積分

2.2.1 第一類曲面積分

（1）引例與定義：設一曲面S物質分布面密度為f(x,y,z)，計算物質總質量.把S分成n小塊，S1,S2,…,Sn.Si的質量近似為f(xi,yi,zi)△Si，當小塊面積最大值趨于零時，總質量

（2）計算：當曲面S有參數形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u, v)∈D哿R2時，面積微元DS=||Φu×Φv||dudv，此時

當曲面S形式為z=g(x,y),(x,y)∈D奐R2時，可以把S參數化為x=u,y=v,z=g(umv),(u,v)∈D奐R2.此時，經計算，面元為，于是

2.2.2 第二類曲面積分

（1）引例與定義：考慮流體流速為F穿過空間中曲面S的流量，即單位時間穿過曲面的質量.為簡單起見，設流體密度為單位1，只須計算單位時間內穿過曲面S的體積.把S分成n小塊，S1,S2,…,Sn.流體穿過Si的體積為F·n△Si（n為Si

（2）計算：當曲面S有參數化形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z (u,v)),(u,v)∈D哿R2時，面積微元dS=||Φu×Φv||dudv,而單位法向量dudv，其中±取決于曲面的法向量的指向.

例如，當曲面S形式為z=g(x,y),(x,y)∈D奐R2時，可以把它可以看成參數形式x=u,y=v,z=g(u,v),(u,v)∈D奐R2，就可以應用上一段的結論了.

2.3 第二類曲線積分，第二類曲面積分的微分形式寫法

2.3.1 第二類曲線積分的微分形式寫法

2.3.2 第二類曲面積分的微分形式寫法

可以把第二類曲面積分寫成微分形式，即

當曲面S有參數化形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(u,v)∈D哿R2時，

其中

如何來理解這個復雜的表示式呢？

3 多元積分中的基本公式“格林公式，斯托克斯公式，高斯公式”

3.1 梯度，散度，旋度及其物理意義

梯度，旋度，散度作用在相應的數量函數或向量函數以后，是向量或數量，不依賴于坐標系.梯度能表示數量場的變化率，其方向是數量場變化最快的方向可以認為是向量算符塄的三個分量，把算符作為向量看待，則很多運算可以更簡便些，比如旋度可以看成塄和(f1,f2,f3)的外積，散度可以看成塄和(f1,f2,f3)的內積.

旋度能表示向量場的旋轉，散度能表示向量場在一點的流量.旋度，散度具體的物理意義我們將在下一節里進行詳細的說明.

3.2 格林公式，斯托克斯公式，高斯公式

3.2.1 格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的向量形式和微分形式

（1）斯托克斯公式（向量形式）：設S是一空間曲面，n是其單位法向量,F是S上的光滑向量場，C對于區域S正則定向，則有ndS，其中τ是曲線C上的單位切向量.

斯托克斯公式（微分形式）：設S是空間中一曲面C對于區域S正則定向，其中F=F1(x,y,z)dydz+F2(x,y,z)dzdx+F3(x,y, z)是S上的光滑向量場，則有

上述微分形式的積分我們已經定義過了.

（2）高斯公式（向量形式）：設Ω是封閉曲面S包圍的空間區域，n是S向外的單位法向量，F是Ω上的光滑向量場，

（3）格林公式（向量形式）:設S是平面上的一個區域，C是其正則定向的邊界，F=(P(x,y),Q(x,y))是S上的光滑向量場，n是S的單位法向量則有.注

格林公式（微分形式）：設D是平面上的一個區域，C是其正則定向的邊界，F=(P(x,y),Q(x,y))是D上的光滑向量場，則有

從這里我們可以看到，向量形式的格林公式，斯托克斯公式，高斯公式便于記憶和理解.

3.2.2 散度，旋度的物理意義

由高斯公式可以看出散度div的物理意義：在空間中一點處考慮散度，設Bε是以此點為中心的小球，Sε是球面，根據高斯公式得，對等式右端使用積分中值定理，得，（其中ξ是球Bε內的點，Vol(Bε)表示Bε的體積），于是，注意表示向量場F在球面Sε內的通量（流量）.

由斯托克斯公式可以看出旋度curl的物理意義：在空間中一點處考慮旋度，考慮任一給定的單位向量n，Cε是垂直于此單位向量的圓周，Sε是Cε所圍成的圓盤，根據由斯托克斯公式，得，由積分中值定理，

〔1〕龔昇.簡明微積分（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.

〔2〕同濟大學.高等數學（下冊)(第六版).北京：高等教育出版社，2007.

〔3〕William G.McCallum Deborah Hughes-Hallett等.微積分.北京：高等教育出版社，2000.

〔4〕William G.McCallum Deborah Hughes-Hallett等.多元微積分.北京：高等教育出版社，2004.

〔5〕J.Marsden,A.Tromba.Vector Calculus(Fifth Edition).New York:W.H.Freeman and Company,2003.

O172.2

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1673-260X（2010）05-0009-03