求偏導數的一種方法

劉國祥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

求偏導數的一種方法

劉國祥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

計算多元函數的偏導數時，由于變元多，往往計算量大.在求一點的偏導數時，把部分變元的值先代入，再計算偏導數，可以減少運算量.

多元函數；偏導數；高階偏導數；混合偏導數

計算多元函數的偏導數時，由于變元多，往往計算量比較大.在求某一點的偏導數時，一般的計算方法是，先求出偏導函數，再代入這一點的值而得到這一點的偏導數.我們發現，把部分變元的值先代入函數中，減少變元的數量，再計算偏導數，可以減少運算量.

1 計算方法

例1 設f(x,y)=x2+(x-2)(y-1)arcsin，求和

一般的方法是，先求出偏導函數

再代入偏導數在點(2,1)的值

可以明顯地看出第一式中的第二、第三項和第二式中的兩項在點(2,1)的值都是0.

這種求偏導數的方法，過程的確很復雜.

現在給出一種比較簡單的算法：

結果與通常的算法一樣，但運算量大大減少了.

這種運算方法是：

2 計算方法的理論依據

上述算法能夠減少運算量的作用是明顯的，但可行性的理論依據是什么呢？這不難，從偏導數的定義就可以充分說明.以二元函數為例.

設有二元函數z=f(x,y)，若一元函數f(x,y0)在x=x0處的導數存在，則稱它為z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數[1].

這個定義是以一元與多元函數的聯系為主線進行的.先代入y=y0的值，成為一元函數再求導數.

設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，當y固定在y0.而x在x0處有增量△x時，相應地函數有增量f (x0+△x,y0)-f(x0,y0)，如果存在，則稱此極限為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數[2].這個定義與上定義是等價的，其出發點是從極限入手，更突出地強調“y固定在y0”這兩個定義都說明求對x的偏導數，可以先把y=y0代入.同理求對y的偏導數，可以先把x=x0代入.

3 在高階偏導數中的應用

對于高階偏導數，特別是混合高階偏導數，由于變元多，求導階數高，如果函數復雜，運算量會更大.應用上述方法，可以部分地減少運算量.

（一定相等），可以選擇求導數的次序，以減少運算量.

如果換一種順序，可以

〔1〕范培華，李正元，李永樂.考研數學復習全書.國家行政學院出版社，2006.

〔2〕同濟大學數學教研室.高等數學（下冊）.高等教育出版社，1996.

O172.2

A

1673-260X（2010）05-0007-02