關于積分中值定理的一點思考

秦學成

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

關于積分中值定理的一點思考

秦學成

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文通過對積分中值定理中的ξ點和積分區間關系的進一步分析，給出了關于點ξ的兩個相關性質.

積分中值定理；ξ點；洛必達法則

在眾多的數學分析教材中，積分中值定理的敘述和證明如下：

定理1 (積分中值定理)若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]內至少存在一點ξ，使

證 已知函數f(x)在閉區間[a，b]連續，則由閉區間上連續函數的性質知：函數f(x)在[a，b]取到最小值m和最大值M，即坌x∈[a,b]，有

由定積分的性質知

由閉區間上連續函數的介值性知：在[a，b]至少存在一點ξ，使

積分中值定理只是指出了中間點ξ的存在性，對于其與積分區間的關系并未給出明確的說明，下面的兩個定理將對此問題做進一步的討論.

定理2 如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在點a可微且f'(a)≠0，那么對于(1)中的ξ，有

已知f'(a)存在，即坌ε>0，堝δ>0，當a

在上述不等式兩邊令h→0+得：

下面討論當區間長度趨于無窮大時ξ點的漸近性.

定理3 若函數f(x)在閉區間[a，x]上連續，在開區間(a，x)內f(t)為α階無窮大，則積分中值定理

的“中間點”ξ滿足等式

因為在(a,x)內(f(t)為α階無窮大，從而F（x）是α+1階無窮大.

由洛必則法則得

而由拉格朗日中值定理，有

因此，當x→+∞時，則ξ→+∞，

于是，由拉格朗日中值定理，有

比較(1)，(2)式，有

〔1〕劉玉鏈，傅沛仁.數學分析講義（上）.高等教育出版社.

〔2〕吳孟達.關于“中間點”的漸近性的一個注記.數學通報，1992(4).

O174.5

A

1673-260X（2010）05-0005-02