基于定數截尾數據指數分布參數的最短區間估計

王玉芳

（荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000）

基于定數截尾數據指數分布參數的最短區間估計

王玉芳

（荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000）

根據定數截尾數據，給出了參數的常用區間估計和最短區間估計，另外，還介紹了最短區間估計的求法。

定數截尾數據；指數分布；最短區間估計

1 引言

指數分布是壽命試驗中常見的分布之一，其重要性首先在于，現實中許多樣本的壽命都服從指數分布；其次，由于它的參數的點估計和區間估計易于得到，并且由指數分布可以派生出Γ分布、x2分布、F分布，這些分布的統計理論較為成熟。本文首先給出定數截尾試驗下人們較為熟悉的關于參數的區間估計，最后討論了最短區間估計問題。

2 參數的極大似然估計和區間估計

設總體T服從參數為λ的指數分布，其密度函數為：

從服從該指數分布的一批產品中任取n個產品進行壽命試驗，試驗進行到事先規定的失效數時停止r(r≥），設其先后失效時間為t1≤t2≤…≤tr，其余n-r個在試驗停止時刻tr尚未失效，由此所得到的就是定數截尾樣本。

由此試驗可得如下引理:

引理1：設t1,t2,…,tr是由n個試驗樣品的截尾數為r的定數截尾樣本，則總試驗時間T*r=t1+…+tr+(n-r)tr服從Γ （r,λ）分布，即T*r的概率密度函數為：

由引理1可得

引理2：隨機變量2λT*r 服從自由度為2r的x2分布，即有2λ(2r)由引理2可得到2λ的概率密度函數為

引理1和引理2的證明見文獻 ［1］。

因此，由引理2對于給定的顯著性水平α∈ （0，1），

由此可得

在產品的壽命服從指數分布 （1）的定數截尾試驗中，參數λ的置信度為1－α的置信區間為

推論 關于參數λ的統計假設檢驗問題：

原假設 H0∶λ＝λ0，備擇假設 H1∶λ≠λ0，

其中，λ0是某事先給定的常數。取統計量T＝2λ0T*r，則在給定的顯著性水平α∈ （0，1） 下，當時，接收原假設時，拒絕原假設H0而接受備擇假設H1。

由于x2分布的分位數有專用的x2分布表可查，使用起來比較方便，因此 （3）也是λ的常用區間估計，但是 （3）并不是λ的最短區間估計，下面將討論λ的最短區間估計問題。

3 最短區間估計

對指數分布的參數λ作區間估計時，在固定的置信度下，我們一般認為置信區間越短越好。對于第二節推導出的λ的區間估計，由于隨機變量2λ服從x2(2r)分布，它的密度函數 （2）不是關于峰值對稱，所得到的置信區間

對給定的置信度1－α，設x1x2滿足下式 不是最短的。

要解決上述條件極值問題，其顯示解很難得到，因此我們先證明該條件極值的駐點是唯一存在的。

命題：當r≥2時，上述條件極值有唯一駐點。

證明：由拉格朗日乘子法，令

對x1，x2求偏導且令偏導為零，得

所求駐點 (x1-x2)就是（4）式與（6）式的解。這樣，僅需證明（4）式與（6）式有解而且解是唯一的。令

由 h′(x)=0，可得唯一穩定點 x0=2r-2；且當 x≤x0時，h′(x)≥0,h(x)嚴格單調遞增，當 x≥x0時，h′(x)≤0,h(x)嚴格單調遞減，因此x0=2r-2是h(x)的最大值點；而當x趨于正無窮大或零時h(x)趨于零。為保證x1＜x2和（6）式成立，應有 x1＜2r-2，x2＞2r-2。這樣由任意 x2可唯一地解出 x1=u(x2)。

對于r≥2時，最短置信區間的求法可用MATLAB軟件求得。

由區間估計和假設檢驗的關系，根據最短區間估計也可類似上述推論給出雙邊假設檢驗問題，這里不再列出。

[1]勞立斯（Lawless.J.F）.壽命數據中的統計模型與方法[M].茆詩松，譯.北京：中國統計出版社，1998.

[2]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]顧嘉麟，郭建英.截尾數據下威布爾分布的參數估計問題[J].哈爾濱理工大學學報，2005，10（2）：61-63.

[4]茆詩松，王玲玲.可靠性統計[M].上海：華東師范大學出版社，1984.

O212.2

A

1673-8535(2010)03-0015-04

王玉芳 (1976-)，女，湖北天門市人，荊楚理工學院數理學院講師，碩士研究生，研究方向：概率統計。

（責任編輯：鐘世華）

2009-10-22