關注數學文化 創設教學情境

●葉事一 (教育教學研究院 浙江溫州 325000)

1 問題的提出

長期以來，數學教學一貫重視基礎知識教學和基本技能訓練，要求以多求熟、熟能生巧.這種教學優勢明顯表現在學生基礎知識扎實、數學解題能力強、考試成績好.然而，我們經常會碰到這樣的尷尬：有部分學生在努力學習數學的同時，也漸漸地開始厭煩、冷漠數學，甚至以遠離數學為擇業標準.

情境教學是新課程倡導的教學模式，一個生動的教學情境可以激活學生的主體意識，調動學生的積極性、主動性和創造性，使學生最大限度地參與探究新知識的活動，讓學生在參與中感受成功的興奮和學習的樂趣，促使學生全身心地投入學習.

在《普通高中數學課程標準(實驗)》中，新的課程基本理念提到：“體現數學的文化價值”，并指出，數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系、數學的美學價值、數學家的創新精神.以“體現數學的文化價值”的基本理念為指導思想來創設合理的課堂教學情境對新課程理念下的課堂教學會有怎樣的作用?筆者就此結合教學實踐談談自己的觀點，以供參考.

2 關注數學文化視角，創設教學情境的合理性

2.1 “情境教學”的理論基礎

先從“情境教學”的理論基礎，也就是建構主義學習理論說起.

建構主義學習理論強調“情境”是學習環境的四大要素之一，認為知識不是通過教師傳授得到的，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助他人的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式獲得的.這里包含著2層意義：其一，建構性教學為學生提供的信息是多樣化的，強調信息的情境化，教師創設的教學情境必須是真實的、具體的，要幫助學生利用各種有力的工具來促進學生自己建構對知識的理解;其二，建構主義強調學生是積極主動的知識建構者，要求學生在一種復雜而真實的情境中，在教師適度的幫助下，采取富有個性的認識加工策略，形成自己對知識的獨立理解.

2.2 數學文化為教學情境的創設擴展了資源

數學的發展與人類文明的發展是同步的，已有5 000多年的發展史，現在數學已經滲透到社會的各個領域中.因此，所蘊涵的數學課程資源是無比豐富的.它或者是一段使人“知興衰”的數學史、“知得失”的數學家生平介紹和引人入勝的數學趣聞;或者是某個發人深思的數學思想、精彩美妙的數學方法和讓人著迷的數學命題;或者是展現數學在科學技術、政治經濟、文學藝術以及社會現實生活中那些漂亮的應用……依照“基礎性、普及性、發展性”原則，我們可以從數學文化視角出發，利用數學科學價值(如數學名題、科學中的數學)、人文價值(如數學家生平、中國數學史中的優秀成果)、應用價值(如身邊的數學、其他學科中的數學)與美學價值(如數學美的解讀、藝術中的數學)等維度為課堂創設合理、生動地教學情境，從而將數學文化滲透到課堂中去.

3 數學文化視角下教學情境的特征

數學文化視角是一個獨特的視角，在這個視角下的數學不僅僅是一些事實、公式、規則、規律、定理、定律，而且，數學還包括豐富的日常生活、社會生活、生產勞動、政治決策、工業管理……以及各類探索活動的來源與應用.在這些來源與應用活動中，數學是可錯的、相對的、猜測的、整體的、類型多樣的……由此可見，數學文化視角下的教學情境，除了依照問題設計規律及教育教學目的、數學學科特點，具有教學的必要因素與必要形式外，還應有其自己的特征：

第一，有效性.任何情境的創設都旨在為“有效教學”服務，主要有3層含義：(1)有效果：指結果與預期吻合程度的評價;(2)有效率：教學效果和教學投入的比值;(3)有效益：指教學活動的收益、教學活動價值的實現.

第二，可及性.跳一跳，夠得到.情境的創設要符合學生的一般認識規律、身心發展規律，包括學生的知識經驗、能力水平、學習習慣、生活經歷及環境，個性、愛好及基本心理狀況等.

第三，趣味性.能激發學生興趣，調動學生的積極性、主動性，使學生最大限度地參與到探究活動中來，讓學生在參與中感受成功的興奮和學習的樂趣，促使學生全身心地投入學習.

第四，應用性.要讓學生切實地感受到數學的應用價值，培養學生的應用意識，使學生感受到“數學就在身邊”，數學可使人們更加合理地做出判斷和選擇，幫助學生認識到：數學是有用的.

第五，人文性.能開闊學生視野，探尋數學發展的歷史軌跡，增強學生的民族自豪感，提高文化素養，養成說理、批判、質疑等理性思維的習慣和鍥而不舍的追求真理精神.

4 數學文化視角下教學情境的創設途徑

4.1 通過數學名題創設教學情境

例如在執教“數列的遞推公式(數列復習課第1課時)”時，可從謝賓斯基三角形出發，引導學生探究遞推公式.

(1)介紹數學的歷史與文化.

上世紀初，波蘭的數學家謝賓斯基想要找到一種圖形：當它的面積無限減小時，它的周長卻無限增大(用幾何畫板進行迭代演示).

(2)數一數.

將上迷迭代過程逐一展示(如圖1)，讓學生數一數在每個圖形中淺色三角形的個數依次為多少?引出該等比數列的遞推式及通項公式.

圖1

(3)再數一數.

每個圖形中淺色、深色三角形的總個數依次為多少?學生容易得出前3項為1，4，13.

(4)探究：第4項是多少(從特殊到一般，引出遞推公式)?

圖2

方法1 幾何方法.從第2個圖像起，每個圖像都可以看成由前一個圖像的3份縮影加上中間一個深色三角形(如圖2)，因此bn=3bn-1+1(n≥2).

方法2 代數法.從前3項的數值1，4，13中可以猜想：bn=3bn-1(n≥2)，于是

方法3 代數法.由 b2-b1=3，b3-b2=9，b4-b3=27，可猜想 bn-bn-1=3n-1(n≥2)，因此

圖3

方法4 幾何法.從第2個圖像起，每一個圖像是在前一個圖像的基礎上將每個淺色三角形中位線構成的三角形變為深色，這樣如圖3所示圈內1個三角形就變成4個三角形，增加了3個三角形.在第n-1圖形中，淺色三角形的個數為3n-2，于是 bn=bn-1+3n-2×3，即 bn=bn-1+3n-1(n≥2).

謝賓斯基三角形是教科書中的一個例題，只給出了數列前面幾項，但作了以上的深度挖掘，從不同的視角去引導學生觀察、分析謝賓斯基三角形的變化，并從中探究數列的遞推公式，加上數學歷史與文化的滲透，傳遞自然、連貫貼切、氣氛融洽，凸顯了學生的主體地位.

4.2 通過數學應用創設教學情境

數學課程標準指出：要培養學生“用數學的眼光認識所生活的環境與生活”，學會“數學地思考”.從身邊的數學應用于其他學科的成果中創設情境，正是實施新課程標準的有效策略之一.

又譬如，教師在執教“指數函數”時，可以從一則新聞報道引入：1994年8月，美國考古學家在阿拉斯加州一處地窖中發現一具女童尸體，在無史料記載可考證的情況下，考古學家卻能測定出這名女童大約死于公元1200年，你知道考古學是怎樣測量女尸的年代的嗎?其實，這是根據人體中含有的一種放射性無素“碳-14”的衰變速度(每年人體內有的“碳-14”衰變成“氮-14”)與尸體內的“碳-14”的含量進行推算的.

同時在教學中，教師也可以向學生介紹現實生活中的數學信息，如數學在CT、核磁共振、高清晰度彩電、飛機設計、天氣預報等重要技術中發揮著核心作用，介紹數學知識和數學思想方法在其他科學和現代生活中的應用，展示數學與其他自然科學、交叉科學之間的聯系，使學生感受到數學的應用價值和社會需要.以糾正其觀念中數學最主要的作用是為了計算，數學學習的最終目的是為了考試等錯誤認識，培養學生的創新欲望，展示數學文化的應用價值.

4.3 通過數學悖論、趣題創設教學情境

例如，在講授“直線的傾斜角與斜率”內容時，可以考慮一個著名的幾何學悖論——“魔術師的地毯”來創設教學情境，讓學生體會推理嚴謹的必要性.魔術大師秋先生拿了一塊長和寬都是13 m的地毯去找地毯匠敬師傅，要求把這塊正方形地毯改制成寬8 m，長21 m的矩形地毯.敬師傅說：“不可能的，你的地毯面積是169 m2，而寬為8 m，長21 m的地毯面積只有168 m2.除非裁去1 m2，否則沒法改.”秋先生拿出事先畫好的一張設計圖紙，對敬師傅說：“你先照圖4的尺寸把地毯裁成4塊，再照圖5的樣子縫好就行了.魔術大師是從來不會出錯的，你只管放心做吧.”敬師傅照著做好之后一量.果然是寬8 m，長21 m的矩形.魔術師拿著改好的地毯得意洋洋地走了，而敬師傅還在那里納悶呢，那1 m2的地毯哪里去了?你能用學過的知識幫助敬師傅找出原因嗎?

圖4

圖5

數學悖論指一切與人們直覺和日常經驗相矛盾的數學結論.它以“趣味數學”聞名于世，具有較強的游戲色彩，容易吸引學生的注意力和興趣，促使他們去發現錯誤、研究缺陷，有助于激發他們數學學習的興趣和鍛煉數學的思維能力.

4.4 通過數學故事、人物創設教學情境

例如，湖南版新課程數學教材在每一章節的篇頭用一首詩來概括本章的主要精神，為本章內容的學習營造一種數學文化的氛圍.《數列》的篇頭詩是這樣的：“玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天，壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環”.這首短短的詩介紹了歷史上與數學有關的4個故事：“玉兔子孫”講的是斐波那契數列(Fibonacci兔子數列);“棋盤麥塔”講的是古印度國際象棋發明者向國王要獎賞的故事：他所要獎賞的麥子總數是1+2+22+23+…+263，這樣多的麥子堆成的“麥塔”可以從地球一直堆到太陽上去，所以說“棋盤麥塔上摩天”一點也不夸張!堆垛和連環都是中國古代的數列問題.教材中很多章節都蘊涵著豐富的數學文化底蘊.在平時的教學中，教師應充分挖掘教材，讓學生感悟數學文化，提升數學課堂的親和力.

又譬如在教學“解析幾何”前，要求學生課外閱讀《解析幾何的誕生》，并上網搜索數學家笛卡兒、費馬的資料，上課時教師花幾分時間讓學生談談體會.學生都被笛卡兒的刻苦學習、大膽設想、要向“世界這本大書”討教的學習精神所感動;再如閱讀材料《當代中國杰出數學家——吳文俊》，可以讓學生在課上朗讀，雖然花了幾分時間，但是可以讓學生了解數學先輩們刻苦鉆研的作風、富有啟發性的治學經驗和崇高的思想品德.他們是數學教學中激發學習興趣、激勵學習積極性、學習科學方法和弘揚民族精神的極其生動的思想養料.

4.5 通過數學美創設教學情境

譬如在復習“幾何概型的應用”時，教師可通過“蒲豐投針問題”介紹圓周率與幾何概型，體現數學的奇異美：π=3.1 415 926…已成為家喻戶曉的數學常識，但π的值還可以利用概率知識得到可能就鮮為人知了.請看下面的試驗：

圖6

圖7

如圖6，平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都是n.向此平面隨意投一長度為m(m＜n)的針，求此針與任一平行線相交的概率.

分析以x表示針的中點到最近一條平行線的距離，以α表示針與平行線的交角.樣本空間

在概率教學中，介紹利用概率知識計算圓周率的方法，不僅可以使學生體驗到數學的奇異美，同時還會使學生感受到數學的進展是腳踏實地的，不像神話、傳說那樣虛無飄渺，但數學的進展卻又使一切神話黯然失色!

又如，在講解習題“設函數

求函數的最小值”時，本題看上去是一道純代數題，但經構造可化數為形，輕而易舉解決，讓學生感受到數形結合之美妙!

先變形為

由平面上兩點間距離公式可知，本題實際上可轉化為求 x軸上一點(x，0)到(-2，3)和(1，1)兩點距離和的最小值，即“兩點間線段最短”.本題起關鍵作用的是化數為形，然后是對稱點的作用.一個思想、一個原理，構成一幅精美的科學圖畫.科學之美油然而生.欣賞數學中的美，體味數學的統一美、和諧美、簡潔美、對稱美、奇異美等，可大大改變目前數學課堂枯燥乏味的現狀，讓學生的情趣盎然，體現數學文化的美學價值.

關注數學文化，創設課堂教學情境，提升學生學習文化品質，營造和諧、向上的課堂氛圍，這樣才能挖掘數學博大精深，探索創新之美.因為知識不是獨立的點，而是連成一片的網，是推理演繹著的流水，流向更深邃的遠方.

［1］ 雷玲.中學數學名師教學藝術［M］.上海：華東師范大學出版社，2008.

［2］ 吳麗娟.結合概率史實，彰顯數學文化［J］.數學教學研究，2009(2)：8-11.