空間柔性機械臂運動功能可靠性分析

馮嘉珍，賈慶軒，孫漢旭

FENG Jia-zhen, JIA Qing-xuan, SUN Han-xu

(北京郵電大學 自動化學院，北京 100876)

0 前言

空間機械臂具有適應太空惡劣作業環境的能力，采用機械臂協助或代替宇航員完成一些太空作業在經濟性和安全性兩方面都具有現實意義，已成為當前空間技術領域的重要研究方向。與地面機械臂相比，空間機械臂具有微重力、大跨度、輕質量、大自重比和低阻尼的特點，因此在對空間機械臂進行動力學分析時必須考慮臂桿的柔性問題。

此外，傳統的動力學研究中[1]，將研究對象視為確定性系統，相應的動力學計算結果也是確定性的，但是這與工程實際并不相符。如設計公差、制造裝配誤差等導致零部件的幾何尺寸存在不確定性；材料參數如彈性模量、密度等有時不能精確確定。由于這些參數的影響，系統的動力學響應也呈現出不確定性。因此，為了更加精確的描述空間柔性機械臂的動力學行為，有必要考慮不確定性參數的影響。

將可靠性技術和空間柔性機械臂動力學研究相結合，分析、計算機械臂的運動功能可靠性，目前這方面的研究相對比較薄弱。Rio[2]等人對機械臂的可靠性進行了研究，但是并沒有計及機械臂的柔性。何柏巖[3]的研究雖然考慮到了機械臂的柔性，但他在進行可靠性計算中，采用了計算效率低下的簡單蒙特卡羅法，導致計算的時間成本過高。

本文以單連桿空間柔性機械臂為研究對象，在綜合考慮不確定性因素和彈性變形的基礎上，利用Lagrange方法建立機械臂的動力學模型。然后，依據計算效率更高的響應面法開發計算程序，對空間柔性機械臂的運動功能可靠性進行了分析計算。

1 空間柔性機械臂動力學分析

在單一平面XOY內做旋轉運動的單連桿空間柔性機械臂如圖1所示。

圖1 空間柔性機械臂結構簡圖

其中，機械臂長為L，臂橫截面寬度為h1、高度為h2，橫截面積為A，橫截面慣性矩I，密度為ρ，彈性模量E，固定端轉動慣量Jh，電機驅動力矩為 ，關節轉角為θ。XOY為慣性坐標系，X1OY1為浮動坐標系。機械臂發生彈性變形時，其軸線不可伸縮，且變形滿足小變形假設。

設P0是沒有產生變形時，機械臂上的任意一點，其在浮動坐標系X1OY1中的坐標為(x,0)。當機械臂發生了如圖1所示的變形之后，點P0運動到了點P的位置，其軸向位移和橫向位移分別為u(x,t)、v(x,t)。

點P在慣性坐標系下的坐標為

說明，為了便于編程計算，將P的坐標表示成向量的形式，并以來表示。同時，為了表達簡潔，用上標點表示對時間進行求導。

空間柔性機械臂的總動能為

空間柔性機械臂的總勢能為

對軸向不可伸長的Euler-Bernoulli梁模型，如忽略軸向變形，則由于橫向變形v(x,t)引起的軸向位移u(x,t) 之間存在如下關系式[4]

根據假設模態法，機械臂的橫向變形v可以表示為一組模態振型和模態坐標的線性組合

其中，φi(x)為機械臂的第i階模態振型，qi(t)為第i階模態坐標，n為模態階數。由文獻[5]可知，一階模態在彈性振動中占據了絕大部分的比重。所以，在推導動力學模型時可以僅保留一階彈性模態。

將 (4)、(5) 式代入(2)、(3) 式，并忽略模態坐標及其速率高于二階的高階小量，利用Lagrange方程可得空間柔性機械臂的動力學方程如下（僅保留一階模態）

2 響應面法及程序流程

由應力-強度干涉理論可以推導出系統運動功能失效的概率為[6]

其中，fX(x1,x2,…,xn)為概率密度函數（xi為系統的基本隨機變量），g(X)=g(x1,x2,…,xn)為運動功能函數。若g(X)＞0，系統運動可靠；若g(X)≤0，則運動失效。

如果功能函數g(X)已知，就可直接利用上式計算可靠度。但在實際情況中，由于系統的復雜性，難以利用基本隨機變量將功能函數直接表示出來，所以利用式(7)計算可靠度是不現實的。一種解決方案就是構造一個近似的功能函數g’(X)來代替真實的g(X)，從而使可靠度的計算得以實現，這就是響應面法的本質。

具體來講，響應面法是在設計驗算點附近擬合響應面，用插值技術確定近似功能函數g’(X)；然后利用一次二階矩法計算出可靠度指標β和可靠度R；之后通過線性插值獲得新的展開點，構造新的響應面函數。如此進行不斷的迭代，逐步逼近真實的可靠度值。

該方法的具體程序流程如圖2所示。

圖2 響應面法計算流程圖

3 空間柔性機械臂運動功能可靠度計算

空間柔性機械臂的幾何尺寸、材料參數(密度、彈性模量等)甚至邊界條件等均存在不確定性。在數學上，不確定性可分為隨機性、模糊性、未確知性三類[7]，此處僅討論參數的隨機性。

選擇機械臂的長L、寬h1、高h2以及密度ρ為基本隨機變量，并假設這些隨機變量均符合正態分布[3]，其均值分別為：0.53 m、0.032 m、0.00085 m、7800 kg/ m3；標準差分別為：0.0053、0.00032、0.0000085、78。機械臂的彈性模量E=2.1*1011N/m2，轉動慣量Jh=0.0146 kg*m2，電機驅動力矩τ=1-t (0≤t≤2)，單位N*m。

t時刻，空間柔性機械臂末端C點的位移如圖1所示。其中，v(L,t)為機械臂末端C點的橫向變形。則C點的位移y(L,t)等于將柔性機械臂視作剛性臂時的位移Lθ與v(L,t)之和。

對于空間柔性機械臂來說，考慮到其末端在規定時間內能運動到預先設計的位置，列出功能函數如下

其中，[y(L,2)]為t=2s，即電機停止工作瞬間，機械臂末端C點位移的許用值，y(L,2)為實際值，可利用Matlab求解空間柔性機械臂動力學方程得出。

表1 柔性機械臂運動功能可靠性分析結果

響應面函數為

分別取[y(L,2)]為14.30, 14.35, 14.40, 14.45,14.50（單位m），利用自行編寫的可靠性分析程序進行空間柔性機械臂運動功能可靠度的計算。所得結果如表1所示。表中，β為可靠度指標，Pf為失效率，R為可靠度，X*為設計驗算點。

4 結論

1）根據表1中的試驗結果可知，在基本隨機變量數目較少的情況下，響應面法迭代次數少、收斂快、計算效率高，是對機構開展運動功能可靠度計算的一種行之有效的手段。

2）本文在計算過程中，做了較多的簡化措施，忽略的因素比較多，這在進行一般性的可靠性分析時是可以接受的。當要求較高時，一方面盡可能將影響柔性機械臂運動功能可靠性的主要不確定性因素都考慮在內，比如邊界條件和載荷的不確定性，甚至電機輸出力矩的不確定性也要考慮；另一方面，針對不同性質的不確定性因素，采取不同的方法進行處理，比如密度要當作隨機場來處理，而電機輸出力矩則要當作隨機過程來對待。

[1]劉又午.多體動力學的休士頓方法及其發展[J].中國機械工程,2000,11(6)：601-607.

[2]Rao S.S.,etc,Probabilistic Approach to Manipulator Kinematics and Dynamics[J].Reliability Engineering and System Safety,2001,72(1)：47-58.

[3]何柏巖.柔性多體系統的廣義確定性動力學模型及其仿真研究[D].天津：天津大學,2003.

[4]劉才山,劉又午.柔性機械臂的動力學模型及滑膜變結構控制[J].振動與沖擊,1998,17(1)：25.

[5]宋建龍.柔性機械臂動力學建模與仿真研究[D].天津：天津大學,2001.

[6]張建國,蘇多.空間柔性機構運動可靠性分析[J].北京航空航天大學學報,2006,32(1)：123.

[7]王光遠.論不確定性結構力學的發展[J].力學進展,2002,32(2)：205-211.